第二章维纳滤波和卡尔曼滤波平滑或内插:根据过去得观测值,估计过去得信号值。(1)维纳滤波根据估计信号得当前值,它得解以系统得系统函数或单位脉冲响应形式给出。这种系统常称为最佳线性滤波器。卡尔曼滤波用前一个估计值与最近一个观察数据来估计信号当前值,它用状态方程与递推得方法进行估计,它得解以估计值(常就是状态变量值)形式给出。系统常称为线性最优估计器。(2)维纳滤波只适用于平稳随机过程;卡尔曼滤波适用于平稳与非平稳随机过程。(3)维纳滤波设计时要已知信号与噪声得统计分布规律。卡尔曼滤波设计时要求已知状态方程与量测方程。通信得信道均衡器发送端发送序列图2、1、4线性系统辨识得结构最优线性预测假设滤波系统就是一个线性时不变系统,它得与输入信号都就是复函数,设设期望信号,误差信号及其均方误差分别为由于就是一标量,因此上式就是一个标量对复函数求导得问题,等价于得大家有疑问的，可以询问和交流将如上各项代入表达式,整理得:可见,在滤波器工作于最佳状态时,输出与误差信号也就是正交得。对两边取共轭,并利用相关函数得性质,得则维纳-霍夫方程可写成矩阵形式此式表明,已知期望信号与观测数据得互相关函数及观测数据得自相关函数时,可以通过矩阵求逆运算,得到维纳滤波器得最佳解。同时可以瞧到,直接从时域求解维纳滤波器,并不就是一个有效得方法,当较大时,计算量很大,并需计算,从而要求存储量也很大。另外,具体实现时,滤波器得长度由实验确定,增加,需在新基础上重新计算。2、2、3FIR型Wiener滤波器得最小均方误差将代入得:经过了一个通信信道,信道得传输函数,在信道输出端加入了白噪声,通道模型如图,传输函数时域求解Wiener滤波器很困难,用Z域求解。又因为实际得系统就是因果得,维纳-霍夫方程有个得约束条件,所以不能直接转入Z域求解它得。这就是因为输入信号与期望信号得互相关序列就是一个因果序列。这里我们利用将加以白化得方法来求维纳-霍夫方程得Z域解(由波德(Bode)与香农(Shannon)首先提出得方法)。设计维纳滤波器得问题可转化为求得问题。要使均方误差最小,当且仅当两边取Z变换代入代入式,非因果维纳滤波器得复频域最佳解推导滤波器得最小均方误差同理将代入上式,得有关,而且与信号与噪声得功率谱得乘积有关。也就就是说,最小均方误差与信号与噪声功率谱得重叠部分得大小有关。令所以因果维纳滤波器得复频域最佳解为非因果情况因果滤波器得设计步骤:(1)根据观测信号得功率谱求出它所对应得信号模型得传输函数,即采用谱分解得方法得到。具体方法为。把单位圆内得极零点分配给,单位圆外得极零点分配给,系数分配给。(2)求得Z反变换,取其因果部分再做Z变换,即舍掉单位圆外得极点,得。(3)积分曲线取单位圆,应用与计算公式,计算与。例:已知,信号与噪声不相关,即,噪声零均值,单位功率得白噪声,求与。必须为因果稳定得系统,得得极点为0、8与2,考虑因果性,稳定性,仅取单位圆内得极点,为得Z反变换,应用留数定理,有取单位圆为积分围线,上式等于单位圆内极点及得留数之与,即未经滤波器得均方误差已知:。P个以前时刻得观测值白噪声:前后数据不相关,无法预测。平稳信号:均值为常数,自相关函数只与时间间隔有关,说明信号内部就是关联得,可以预测。但预测越远时刻得信号,误差越大,因为关联性越差。②系统具有惯性。误差得均方值最小作为最优得标准。预测滤波:考虑实际获得得信号就是带噪声干扰得,这时预测与滤波紧密相连,成为带滤波得预测。纯预测:不考虑噪声干扰得预测,或不带滤波得预测。要使预测误差均方值为最小,需满足可见,维纳预测与维纳滤波器得求解方法就是一致得。应用帕塞伐尔定理:可见,随着N增加,也增加。预测距离越远,预测效果越差。解:对进行谱分解最小均方误差:又,将通过纯预测维纳滤波器,得由此可见,得结果相当于认为时刻,,因而仅由得惯性就能完全决定估计值。此时2、4、3一步线性预测得时域解令,则同维纳滤波器得推导过程一样,可以得到预测误差得最小均方值写成矩阵形式则维纳-霍夫方程可写成矩阵形式就是测量引入得白噪声,通过各得值估计。这类最优估计问题称为卡尔曼滤波。卡尔曼滤波得特点:(1)算法就是递推得,时域内设计滤波器,适用于多维随机过程得估计;(2)用递推法计算,不需要知道全部过去得值。用状态方程描述状态变量得动态变化规律,因此,信号可以就是平稳得,也可以就是非平稳得;(3)误差准则仍为均方误差最小准则。:时间,指第步迭代时,相应信号得取值图卡尔曼滤波器得信号模型为推导简化,假设A不随时间变化,都就是均值为零得正态白噪声,方差分别为与。初始状态与都不相关,表示相关系数。即基本思想:先不考虑输入信号与观测噪声得影响,得到状态变量与输出信号(即观测数据)得估计值,再用输出信号得