2019年高考数学试题分项版——平面向量（解析版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，8)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3，故选B.2．(2019·全国Ⅱ文，3)已知向量a＝(2,3)，b＝(3,2)，则|a－b|等于()A.2B．2C．52D．50答案A解析∵a－b＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)，∴|a－b|＝-12+12＝2.即2x＋y－2π＋1＝0.3．(2019·全国Ⅰ理，7)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案B解析设a与b的夹角为α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3，故选B.4．(2019·全国Ⅱ理，3)已知AB＝(2,3)，AC＝(3，t)，|BC|＝1，则AB·BC等于()A．－3B．－2C．2D．3答案C解析因为BC＝AC－AB＝(1，t－3)，所以|BC|＝1+t-32＝1，解得t＝3，所以BC＝(1,0)，所以AB·BC＝2×1＋3×0＝2，故选C.5．(2019·北京理，7)设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【思路分析】“与的夹角为锐角”“”，“”“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．【解析】：点，，不共线，“与的夹角为锐角”“”，“”“与的夹角为锐角”，设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件．故选：．【归纳与总结】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查向量等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题1．(2019·全国Ⅲ文，13)已知向量a＝(2,2)，b＝(－8,6)，则cos〈a，b〉＝________.答案－210解析∵a＝(2,2)，b＝(－8,6)，∴a·b＝2×(－8)＋2×6＝－4，|a|＝22+22＝22，|b|＝(-8)2+62＝10.∴cos〈a，b〉＝a∙b|a||b|＝-422×10＝－210.2．(2019·北京文，9)已知向量a＝(－4,3)，b＝(6，m)，且a⊥b，则m＝________.答案8解析∵a⊥b，∴a·b＝0.又∵a＝(－4,3)，b＝(6，m)，∴－4×6＋3m＝0，解得m＝8.3．(2019·浙江，17)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．答案025解析以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0,0)，B(1,0)，C(1,1)，D(0,1)，所以λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当λ1-λ3+λ5-λ6=0,λ2-λ4+λ5+λ6=0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|取得最大值22+42＝25.4.(2019·江苏，12)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O.若AB·AC＝6AO·EC，则ABAC的值是_________．答案3解析方法一以点D为坐标原点，BC所在的直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)，a>0，c>0，由BE＝2EA得E2b-a3,2c3，则直线OA：y＝cbx，直线CE：(b－2a)y＝c(x－a)，联立可得Ob2,c2，则AB·AC＝(－a－b，－c)·(a－b，－c)＝b2＋c2－a2，AO·EC＝-b2,-c2·4a-2b3,-2c3＝b2+c2-2ab3，由AB·AC＝6AO·EC得b2＋c2－a2＝2(b2＋c2－2ab)，化简得4ab＝b2＋c2＋a2，则ABAC＝(b+a)2+c2