第二十四章 圆 基础知识.doc
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编辑整理:肖老师联系方式:1324041353620235093@qq.com第二十四章圆基础知识圆(circle):在一个平面内,线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做圆。固定的端点O叫做圆心(centerofcircle),线段OA叫做半径(radius)圆的有关概念弦(chord):连接圆上任意两点的线段直径(diameter):经过圆心的弦圆弧(弧arc):圆上任意两点之间的部分半圆(sernicircle):圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫做半圆等圆:能够重合的两个圆等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧圆是轴对称图形,任意一条直径所在直线都是它的对称轴。圆也是以圆心为对称中心的中心对称图形。垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,所对的弦相等在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,所对弧相等圆周角(angleinacircularsegment):顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对圆心角的一半,也等于所夹弧的度数的一半。半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接多边形:如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做圆内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆。圆内接四边形对角互补。点和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有点P再圆外←→d>r点P再圆上←→d=r点P再圆内←→d<r直线和圆的位置关系相交:直线和圆有两个公共点,这条直线叫做圆的割线直线l与⊙O相交←→d<r相切:直线和圆只有一个公共点,这条直线叫做圆的切线直线l与⊙O相切←→d=r相离:直线和圆没有公共点直线l与⊙O相交←→d>r切线判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线圆的切线垂直于过切点的半径经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角圆与圆的位置关系圆心距:两圆圆心的距离,记为d外离d>r1+r2外切d=r1+r2相交|r1﹣r2|<d<r1+r2④内切d=|r1﹣r2|⑤内含d<d=|r1﹣r2|拓展知识:圆外角、圆内角、圆切角A、如果角的顶点在圆内,则称这样的角为圆内角,如图3-28中的∠APB即为圆内角.圆内角的大小究竟与弧有何关系呢?延长AP,BP分别交圆于C,D两点,再连结AD,则∠APB=∠A+∠D.因为所以即圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半,其中圆心角是特殊的圆内角.B、如果角的顶点在圆外,且角的两边都与同一个圆相交,则称这样的角为圆外角,如图3-29中的∠APB即为圆外角,圆外角的度数与它所夹两弧的度数有关.连结AD,则∠P=∠CAD-∠D.因为所以即圆外角的度数等于它所夹两弧度数差的一半.C、圆切角等于所夹弧度数的一半,即弧所对的圆周角证明过程略切割线定理(切割线定理)从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是点到割线与圆的两个交点的两条线段的比例中项.如图3-68,PC切⊙O于C,割线交⊙O于A,B.求证:PC2=PA·PB.△PCA∽△PBC,①为此,只须连结AC,BC,则有∠ACP=∠CBP,∠P=∠P,故①成立.证法1请读者写出.证法2仿例1之证法2的方法,利用勾股定理证明本题.作OH⊥AB于H,连OA,OP,OC(图3-69).因为PC切圆O于C,所以△PCO中,∠C=90°,所以PC2=PO2-OC2=(PH2+OH2)-OA2=PH2+OA2-AH2-OA2=PH2-AH2=(PH+AH)·(PH-AH)=PB·PA.推论:从圆外一点引圆的两条割线,这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等.图3-70中,PAB,PCD是⊙O的两条割线.求证:PA·PB=PC·PD.证明由例2可直接推出.交线定理(交弦定理)圆内两条弦相交,被交点分成的两条线段的积相等.如图3-65,⊙O中两弦AB,CD相交于P点.求证:PA·PB=PC·PD.PC=∠DPB,∠C=∠B.最后的条件,只要连结AC,BD即可满足,因此命题得证.证法2证法1是通常的想法,实际上,本题若换个想法:证明PA·PB为一定值