专题五三角函数与解三角形5.1三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式考点三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式1.(2022全国甲理,8,5分)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”.如图,ᵃᵃ是以O为圆心,OA为半径的圆弧,C是AB的中点,D在ᵃᵃ上,CD⊥AB.“会圆术”给出ᵃᵃ的弧长的近似值s的计算公式:s=AB+ᵃᵃ2.当OA=2,∠AOB=60°时,s=()ᵄᵃA.11−3√3B.11−4√3C.9−3√3D.9−4√32222答案B连接OC,如图.∵C是AB的中点,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三点共线.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=√3,CD=2-√3,∴s=2+(2−√3)2=11−4√3,故选B.222.(2019北京文,8,5分)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为()A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ答案B本题主要考查扇形面积、三角形面积公式及应用;主要考查学生的推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.由圆的性质易知,当|PA|=|PB|时,阴影部分的面积最大,其面积为△PAB的面积与弓形的面积之和.作PD⊥AB于D点,由∠APB=β,知∠DOB=β(O为圆心).所以|OD|=2cosβ,|PD|=2+2cosβ,|AB|=4sinβ.所以111S=·|AB|·|PD|=4sinβ(1+cosβ).S弓形=S扇形-S=·2β·22-·4sinβ·2cosβ=4β-4sinβ·△PAB2OAB△OAB22cosβ.故阴影部分的面积为S+S=4sinβ+4sinβcosβ+4β-4sinβcosβ=4β+4sinβ.故选B.△PAB弓形思路分析本题阴影部分由一个三角形与一个弓形构成,当β确定时,弓形面积是确定的,故三角形面积最大时,阴影部分面积最大.3.(2014课标Ⅰ文,2,5分)若tanα>0,则()A.sinα>0B.cosα>0C.sin2α>0D.cos2α>0答案C由tanα>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,则A,B错;由sin2α=2sinαcosα知π(121sin2α>0,C正确;α取时,cos2α=2cos2α-1=2×)-1=-<0,D错.故选C.322评析本题考查三角函数值的符号,判定时可运用基本知识、恒等变形及特殊值等多种方法,具有一定的灵活性.4.(2014大纲全国文,2,5分)已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=()4334A.B.C.-D.-5555−44答案D由三角函数的定义知cosα==-.故选D.5√(−4)2+3255.(2015福建文,6,5分)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于()13121255A.B.-C.D.-5512125答案D∵sinα=-,α为第四象限角,1312sinᵯ5∴cosα=√1−sin2α=,∴tanα==-.故选D.13cosᵯ126.(2014大纲全国理,3,5分)设a=sin33°,b=cos55°,c=tan35°,则()A.a>b>cB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案C∵b=cos55°=sin35°>sin33°=a,∴b>a.sin35°又∵c=tan35°=>sin35°=cos55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C.cos35°√107.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()24334A.B.C.-D.-3443533答案C(sinα+2cosα)2=,展开得3cos2α+4sinαcosα=,再由二倍角公式得cos2α+2sin2α=0,故2223sin2ᵯ3tan2α==-2=-,选C.cos2ᵯ24评析本题考查同角三角函数的基本关系式和三角恒等变换,考查转化与化归思想,考查学生灵活应用公式的能力和运算求解能力.三角函数求值问题关键在于观察角与角之间的关系和三角函数名之间的关系.58.(2013大纲全国文,2,5分)已知α是第二象限角,sinα=,则cosα=()13125512A.-B.-C.D.13131313答案A∵α是第二象限角,∴cosα<0.12∴cosα=-√1−sin2