培优点二函数零点1．零点的推断与证明例1：已知定义在上的函数，求证：存在独一的零点，且零点属于．【答案】见解析【解析】，，，在单调递增，，，，，使得由于单调，所以的零点独一．2．零点的个数成绩例2：已知函数满意，当，，若在区间内，函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当时，，所以，而有三个不同零点与有三个不同交点，如图所示，可得直线应在图中两条虚线之间，所以可解得：3．零点的性质例3：已知定义在上的函数满意：，且，，则方程在区间上的所有实根之和为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】先做图观看实根的特点，在中，通过作图可发觉在关于中心对称，由可得是周期为2的周期函数，则鄙人一个周期中，关于中心对称，以此类推。从而做出的图像（此处要留意区间端点值在何处取到），再看图像，，可视为将的图像向左平移2个单位后再向上平移2个单位，所以对称中心移至，刚好与对称中心重合，如图所示：可得共有3个交点，其中，与关于中心对称，所以有。所以．4．复合函数的零点例4：已知函数，若方程恰有七个不相反的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】考虑通过图像变换作出的图像（如图），由于最多只能解出2个，若要出七个根，则，，所以，解得：．对点增分集训一、选择题1．设，则函数的零点所在的区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，，∴，∵函数的图象是连续的，且为增函数，∴的零点所在的区间是．2．已知是函数的零点，若，则的值满意（）A．B．C．D．的符号不确定【答案】C【解析】在上是增函数，若，则．3．函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于在上是增函数，则由题意得，解得，故选C．4．若，则函数的两个零点分别位于区间（）A．和内B．和内C．和内D．和内【答案】A【解析】∵，∴，，，由函数零点存在性定理可知，在区间，内分别存在零点，又函数是二次函数，最多有两个零点．因而函数的两个零点分别位于区间，内，故选A．5．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由于函数是定义域为的奇函数，所以，即0是函数的一个零点，当时，令，则，分别画出函数和的图象，如图所示，两函数图象有一个交点，所以函数有一个零点，根据对称性知，当时函数也有一个零点．综上所述，的零点个数为3．6．函数的零点个数为（）A．3B．2C．7D．0【答案】B【解析】方法一：由得或，解得或，因而函数共有2个零点．方法二：函数的图象如图所示，由图象知函数共有2个零点．7．已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，即，解得；当时，，即，解得，即实数的取值范围是．故选D．8．若函数在区间内存在一个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，与轴无交点，不合题意，所以；函数在区间内是单调函数，所以，即，解得或．故选B．9．已知函数，则使函数有零点的实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】函数的零点就是方程的根，画出的大致图象（图略）．观看它与直线的交点，得知当或时，有交点，即函数有零点．故选D．10．已知是奇函数且是上的单调函数，若函数只需一个零点，则实数的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，则，由于是上的单调函数，所以，只需一个实根，即只需一个实根，则，解得．11．已知当时，函数的图象与的图象有且只需一个交点，则正实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】在同不断角坐标系中，分别作出函数与的大致图象．分两种情形：（1）当时，，如图①，当时，与的图象有一个交点，符合题意．（2）当时，，如图②，要使与的图象在上只需一个交点，只需，即，解得或（舍去）．综上所述，．故选B．12．已知函数和在的图像如下，给出以下四个命题：（1）方程有且只需6个根（2）方程有且只需3个根（3）方程有且只需5个根（4）方程有且只需4个根则正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出的总数．（1）中可得，，，进而有2个对应的，有2个，有2个，总计6个，（1）正确；（2）中可得，，进而有1个对应的，有3个，总计4个，（2）错误；（3）中可得，