2.1由比例线段产生的函数关系成绩例12012年上海市徐汇区中考模拟第25题在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，，⊙B的半径长为1，⊙B交边CB于点P，点O是边AB上的动点．（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的地位关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．图1图2图3动感体验请打开几何画板文件名“12徐汇25”，拖动点O在AB上运动，观察△OMP的三个顶点与对边的垂直平分线的地位关系，可以体验到，点O和点P可以落在对边的垂直平分线上，点M不能．请打开超级画板文件名“12徐汇25”，分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形．点击“相切”按钮，可得y关于x的函数关系．思绪点拨1．∠B的三角比反复用到，留意对应关系，防止错乱．2．分三种情况探求等腰△OMP，各种情况都有各自特殊的地位关系，用几何说理的方法比较简单．3．探求y关于x的函数关系式，作△OBN的边OB上的高，把△OBN分割为两个具有公共直角边的直角三角形．满分解答在Rt△ABC中，AC＝6，，所以AB＝10，BC＝8．过点M作MD⊥AB，垂足为D．在Rt△BMD中，BM＝2，，所以．因而MD＞MP，⊙M与直线AB相离．图4（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因而不存在MO＝MP的情况．②如图5，当PM＝PO时，又由于PB＝PO，因而△BOM是直角三角形．在Rt△BOM中，BM＝2，，所以．此时．③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．在Rt△BOE中，BE＝，，所以．此时．图5图6（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON．当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．在Rt△BNF中，BN＝y，，，所以，．在Rt△ONF中，，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2．因而得到．整理，得．定义域为0＜x＜5．图7图8考点舒展第（2）题也能够这样考虑：如图8，在Rt△BMF中，BM＝2，，．在Rt△OMF中，OF＝，所以．在Rt△BPQ中，BP＝1，，．在Rt△OPQ中，OF＝，所以．①当MO＝MP＝1时，方程没有实数根．②当PO＝PM＝1时，解方程，可得③当OM＝OP时，解方程，可得．例22012年连云港市中考第26题如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请阐明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为甚么值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．动感体验请打开几何画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．请打开超级画板文件名“12连云港26”，拖动点N在射线BO上运动，可以体验到，当M、N都在O右侧时，MN与AB不平行．当点A落在上时，∠MNO＝∠BAO，△OMN∽△OBA．s与t之间的函数关系式呈抛物线图象，当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．答案（1）当M、N都在O右侧时，，，所以．因而MN与AB不平行．（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么．所以．解得t＝2．图2图3图4（3）①如图2，，，．．②如图3，，，．．③如图4，，，．．综合①、②、③，s．所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．例32011年上海市中考第25题在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．点P是AB边上任意一点，直线PE⊥AB，与边AC或BC相交于E．点M在线段AP上，点N在线段BP上，EM＝EN，．（1）如图1，当点E与点C重合时，求CM的长；（2）如图2，当点E在边AC上时，点E不与点A、C重合，设AP＝x，BN＝y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的顶点A、M、E分别与△ENB的顶点E、N、B对应），求AP的长．图1图2备用图动感体验请