习题课——任意角、三角函数与诱导公式课后训练巩固提升A组1.已知角α=738°,则角α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析:∵α=738°,∴α2=369°=360°+9°.∴α2的终边和9°的终边相同.答案:A2.若cos(π-α)=53,且α∈π2,π,则sin(π+α)=()A.-53B.-23C.-13D.±23解析:∵cos(π-α)=-cosα=53,∴cosα=-53.又α∈π2,π,∴sinα=1-cos2α=1--532=23.∴sin(π+α)=-sinα=-23.答案:B3.已知角α是第二象限角,P(x,4)为其终边上的一点,且cosα=15x,则sinα=()A.45B.-35C.35D.-45解析:因为|PO|=x2+42(O为坐标原点),所以cosα=xx2+42=15x,解得x=3或x=-3,又因为α是第二象限角,所以x=-3.所以sinα=45.答案:A4.在0~2π内,与角-4π3终边相同的角是()A.2π3B.π3C.π6D.4π3解析:与角-4π3终边相同的角是2kπ+-4π3,k∈Z.令k=1,可得与角-4π3终边相同的角是2π3.答案:A5.已知α∈(0,π),tanα=-2,则cosα=()A.55B.-55C.255D.-255解析:因为α∈(0,π),tanα=-2,所以α为钝角.由sin2α+cos2α=1,tanα=-2,解得cosα=-55.答案:B6.若tanα=34,则cos2α+4sinαcosαcos2α+4sin2α=()A.6425B.4825C.1613D.413解析:∵tanα=34,∴cos2α+4sinαcosαcos2α+4sin2α=1+4tanα1+4tan2α=1+4×341+4×916=1613.答案:C7.已知角α是第三象限角,且sinα2=-sinα2,则角α2是第象限角.解析:因为α是第三象限角,所以2kπ+π<α<2kπ+3π2(k∈Z).所以kπ+π2<α2<kπ+3π4(k∈Z).所以α2是第二象限角或第四象限角.又因为sinα2=-sinα2,所以sinα2<0.所以α2是第四象限角.答案:四8.若tanα=-2,则sin(π-α)+5cos(2π-α)3cos(π-α)-sin(-α)的值为.解析:∵tanα=-2,∴sin(π-α)+5cos(2π-α)3cos(π-α)-sin(-α)=sinα+5cosα-3cosα+sinα=tanα+5-3+tanα=-2+5-3-2=-35.答案:-359.已知扇形AOB的周长为8.(1)若这个扇形的面积为3,求圆心角的大小;(2)当这个扇形的面积取得最大值时,求圆心角的大小和弦长AB.解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α.(1)由题意可得2r+l=8,12lr=3,解得r=3,l=2,或r=1,l=6.∴α=lr=23或α=lr=6.(2)∵2r+l=8,∴S扇=12lr=12r(8-2r)=r(4-r)=-(r-2)2+4≤4,当且仅当r=2,即α=lr=2时,扇形面积取得最大值4.∴弦长AB=2sin1×2=4sin1.10.已知tanθ+1tanθ=3π<θ<5π4,求:(1)sinθ+cosθ的值;(2)(sinθ-cosθ)2的值.解:(1)由tanθ+1tanθ=3,得sinθcosθ=13.∵π<θ<5π4,∴cosθ<0,sinθ<0.∵(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=53,∴sinθ+cosθ=-153.(2)(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=13.B组1.给出下列四个命题:①-3π4是第二象限角;②4π3是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:-3π4是第三象限角,故①错误.4π3=π+π3,从而4π3是第三象限角,所以②正确.-400°=-360°-40°,是第四象限角,从而③正确.-315°=-360°+45°,是第一象限角,从而④正确.答案:C2.已知sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),则sinθcosθ+cos2θ=()A.15B.25C.35D.55解析:∵sinπ2+θ+3cos(π-θ)=sin(-θ),∴cosθ-3cosθ=-sinθ,∴tanθ=2.∴sinθcosθ+cos2θ=sinθcosθ+cos2θsin2θ+cos2θ=tanθ+1tan2θ+1=35.答案:C3.已知