网格作图与最短路径问题知识储备1.两点之间线段最短置，使PA+PB取得最小值.【解析】作点A关于直线l对称点A，连接PA，则PA+PB=PA'+PB≥AB（A，P，B三点共线时取“=”）.如图②所示，已知P为∠COD内部一定点，点A，B分别为OC，OD上的动点，确定点A，B的位置使PAB的周长最小.【解析】分别作点P关于OC，OD的对称点P1和P2，连接P1P2分别交OC，OD于点A，B，PAB周长的最小值为线段P1P2的长.如图③所示，点P，Q为∠COD内部两个定点，点A，B分别为OC，OD上的动点，确定点A，B的位置使四边形PABQ的周长最小.【解析】作点P关于OC的对称点P1，点Q关于OD的对称点P2，连接P1P2分别交OC，OD于点A，B，四边形PABQ的周长最小值为线段P1P2的长.3.造桥选址问题的最小值.【解析】作点A，使AA∥PQ，AA=PQ，则四边形AA'QP为平行四边形，那么AP=AQ，从而APAQAQAQAA（A，Q，A三点共线时取“=”）.AP+AQ的最小值为AA.典例精讲（2015•天津）在每个小正方形的边长为1的网格中．点A，B，C，D均在格点上，点E、F分别为线段BC、DB上的动点，且BE＝DF．（Ⅰ）如图①，当BE5时，计算AE+AF的值等于2（Ⅱ）当AE+AF取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AE，AF，并简要说明点E和点F的位置如何找到的（不要求证明）．（1）5612（2）【思路】如图③，作∠PBE=∠FDA，BP=AD=4，∵DF=BE，∴BEP≌DFA，∴PEAF，∴AE+AF=AE+PE大于等于AP（当A，E，P三点共线时取“=”），此时点E为AP与BC的交点；作GD⊥BD，使GD=AB=3，∵DF=BE，∴DFG≌BEA，∴GF=AE，∴AE+AF=AF+GF大于等于AG（当A，F，G三点共线时取“=”），此时点F为AG与BD的交点.【作法】如图④取格点H，K，连接BH，CK，相交于点P，连接AP，与BC相交，得点E，取格点M，N连接DM，CN，相交于点G，连接AG，与BD相交，得点F，线段AE，AF即为所求．实战演练图③图④（1）（2020·河东区一模）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，ACB90，BC3，AC4，D为BC中点，P为AC上的一个动点.（Ⅰ）当点P为线段AC中点时，DP的长度等于；（Ⅱ）将P绕点D逆时针旋转90得到点P'，连BP'，当线段BP+DP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点P，点P'，并简要说明你是怎么画出点P，点P'的：.（2）（2019•河东区一模）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q分别为线段AB，BC上的动点，且满足APBQ（I）线段AB的长度等于；（Ⅱ）当线段AQCP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出线段AQ和CP，并简要说明你是怎么画出点Q，P的（不要求证明）．（3）（2019•东丽区一模）如图，在由边长都为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均为格点，点P，Q为线段AB上的动点，且满足PQ1．（Ⅰ）当点Q为线段AB中点时CQ的长度等于．（Ⅱ）当线段CQCP取得最小值时，请借助无刻度直尺在给定的网格中画出点Q，并简要说明你是怎么画出点Q的：．（4）（2019·部分区县一模）如图，在每个小正方形边长为1的网格中，ABC的顶点A，B，C均在格点上，D为AC边上的一点.（Ⅰ）线段AC的值为；（Ⅱ）在如图所示的网格中，AM是ABC的角平分线，在AM上求一点P，使CPDP的值最小，请用无刻度的直尺，画出AM和点P，并简要说明AM和点P的位置是如何找到的（5）（2017•河西区一模）在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形ACB与ECD的顶点都在网格点上，点N、M分别为线段AB、DE上的动点，且BN＝EM．（Ⅰ）如图①，当BN时，计算CN+CM的值等于；（Ⅱ）当CN+CM取得最小值时，请在如图②所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段CN和CM，并简要说明点M和点N的位置是如何找到的（不要求证明）．（6）（2019·河北区二模）如图，在每个小正方的边长为1的网格中，点A，B均在格点上，l1，l2是一条小河平行的两岸.（不要求证明）.（1）AB的距离等于；（2）现要在小河上修一座垂直于两岸的桥MN（点M在l1上，点N在l2上，桥的宽度忽略），使AM+MN+NB最短，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出MN，并简要