离散数学几种典型的代数系统例3设S=｛ρ|ρ是集合A上的关系｝，对于关系的复合运算可构成代数系统<S；>，<S;>是半群.。在独异点<S,>中，对任意a∈S,有a0=e()式中的两个等式在独异点中亦成立。例6对于半群<N；+>，N的子集定义5-4设<S；>是一独异点，若<T；>是<S；>的子代数，且单位元e∈T，则称<T；>是<S；>的子独异点。Y5.2群的定义一、群的定义定义5-5设<G；>是一个代数系统，如果运算*是可结合的，存在单位元e，且G中任何元素a都有逆元a-1，则称<G；>是一个群。例2设有Z4=｛0,1,2,3｝，模4的加法运算定义为。构成代数系统<Z4;>。对于任意的a,b,c∈N4，令a+b=4m1+res4(a+b),b+c=4m2+res4(b+c)二、循环群1．群中元素的幂对于任意a∈G，a0=e,(n=0,1,2,…)大家有疑问的，可以询问和交流例如2．循环群定义5-6在群<G；*>中，如果存在一元素g∈G，使得每一元素a∈G都能表示成gi(i∈I)的形式，则称群<G；*>为循环群，称g为该循环群的生成元，并称群<G；*>由g生成。例4例2中的群<Z4；♁4>是循环群，因为10=0，11=1，12=1♁41=res4(2)=2,13=12♁41=2♁41=res4(3)=3所以1是其生成元。又30=0，31=3，32=3♁43=res4(6)=2,33=32♁43=2♁43=res4(5)=1所以3也是其生成元。例5设G={a,b,c,e}，*是G上的二元运算，三、群的阶和元素的周期定义5-7设<G；*>是一个群，如果G是有限集，则称<G；*>是有限群，G中元素的个数称为群<G；*>的阶；若G是无限集，则称<G；*>是无限群。例6在群中，单位元1的周期为1。（-1）2=（-1）4=（-1）6=…=1，定理5-1设<G；>是一由元素g生成的循环群，则（1）若g的周期为n，则<G；>是一个阶为n的有限循环群；（2）若g的周期为无限，则<G;>是一个无限阶的循环群。练习5-21．设有集合A=是函数的复合运算，判断下述各论断是否正确，在相应的括号中键入“Y”或“N”（1）令FA是一个群.5．3群的性质一、关于相约性定理5-2设<G；*>是一个群，则对任意的a,b∈G，（1）存在唯一的元素x∈G，使a*x=b；（2）存在唯一的元素y∈G，使y*a=b。定理5-3设<G；*>是一个群，则对任意的a,b,c∈G（1）若a*b=a*c,则b=c；（2）若b*a=c*a，则b=c。二、元素运算后求逆元等于元素分别求逆元后颠倒次序相运算定理5-4设<G；>是一个群，则对任意a,bG，有三、关于元素的周期定理5-5群<G；*>中的元素a若具有有限周期r，则当且仅当k是r的整数倍时，ak=e。定理5-6群中任一元素与它的逆元具有相同的周期。定理5-7的结论对于无限群不成立。例如群<I；+>.练习5-31．填空设Z6=，6是模6的加法，定义为：a6b=res6(a+b)，<Z6;6>是一个群。（1）群<Z6;6>的单位元是。（2）1的逆元是；2的逆元是；3的逆元是。（3）1的周期是，1与的周期相同。（4）2的周期是，2与的周期相同。半群，独异点和群这三个概念之间的区别：半群<N；+>，独异点<Z；+>，群<I；+>。<I；+>既是半群、独异点，也是一个群，对于I的三个子集：E1=例1Klein的四元群<{a,b,c,e};∘>有如下子群：二、子群的判别要判断H对于运算能否构成<G；>的子群，需要弄清以下三个问题。1封闭性：对于任意a,bH，是否有abH；2单位元：是否有eH；3可逆性；对于任意aH，是否有a-1H；定理5-9设是一个群，H是G的一个非空子集，若对于任意，有，则是的子群。解显然H是G的非空子集。例3设<G；>是一个群，定义G的子集H为H=试问H对于运算能否构成<G；>的子群。定理5-10的证明：设aH，由定理5-7，a具有有限周期，设为r，例4对于群<Z6；6>，找出它的所有子群。三、子群的等价定义如前所述，若<H；>是群<G；>的子群，则<H；>自身也必是群。定义5-9设<G；>是一个群，H是G的非空子集，若<H；>也是群，则称<H；>是<G；>的子群。5.5格一偏序集1。偏序集定义5-10集合L和定义在L上的偏序关系“≤”一起称为偏序集，用<L；≤>表示。１．对任意的aＡ，因为自反，所以有（a,a）,于是（a,a），因此也是自反的。根据逆关系的定义=若<L；>是一个偏序集，则对于任意元素1,2,3L，有以下六个关系式成立：如果元素a是1和2的下界。且对于任意L，若也是1和2的下界，便有a,则称a是1和