·数学教研·2005年第7期(总第137期)数学证明中知识和方法对证明教育价值的影响李清1孔凡哲2(11东北师范大学数学与统计学院,吉林长春130024;21东北师范大学教育科学学院,吉林长春130024)[摘要]通过一个具体实例说明中学数学证明中使用的知识和方法对证明教育价值的影响主要有以下几方面:学生对所证数学命题的理解,学生的认知结构完善的方面,学生学习的兴趣、态度和能力的发展,学生对数学证明信服的程度。[关键词]数学;证明;知识;方法;教育价值[中图分类号]G63316[文献标识码]A[文章编号]1002-1477(2005)07-0031-02一个数学命题往往可以用不同的知识和方法使用的知识和方法只是形式上的逻辑的推演,是来证明或反驳,那么不同的知识和方法对证明的证明一类命题的通法,但没有任何意义,不能带来教育价值会产生怎样的影响呢?这是许多数学教好的理解;有的数学证明所用的知识和方法简单,师关心的问题[1]。一般认为,数学证明的教育价学生容易理解和掌握。值包括以下方面:11通过证明和教与学,使学生例如证明:前n个正整数的和是理解相关的数学知识;21通过证明,训练和培养n(n+1)。学生的思维能力(包括逻辑和非逻辑的思维)以及2数学交流能力;31通过证明,帮助学生寻找新旧证明1:设S(k)为前k个正整数的和。知识之间的内在联系使学生获得的知识系统化1(1+1),;当n=1时,S(1)=1=,命题成立。241通过证明,使学生更牢固地掌握已学到的知k(k+1)识并尽可能让学生自己去发现新知识通过设n=k时,S(k)=,则n=k+1,;512[2～4]证明,培养学生的理解精神。不同的知识和时,方法对数学证明教育价值的影响不同,影响的方k(k+1)S(k+1)=S(k)+(k+1)=+面包括:2(k+1)(k+2)一、学生对所证数学命题的理解(k+1)=,命题也成立。2学生对所证数学命题的理解随着证明中所使因此,对于任意的正整数n,前n个正整数用的知识和方法的不同而不同。有的数学证明使的和是n(n+1)。用的知识和方法直观、形象、具体,有利于学生理2解所证命题,把握所证命题的实质;有的数学证明证明2:把前k(k=1,2,3,⋯,n,⋯)个正整[作者简介]李清(1974-),女,吉林白山人,讲师,博士研究生;孔凡哲(1965-),男,山东济宁人,教授,硕士研究生导师。[基金项目]全国教育科学“十五”规划项目(BHA030025)。现代中小学教育·31·2005年第7期(总第137期)·数学教研·数的和表示成如图1所示的三角形数。三、学生学习的兴趣、态度和能力的发展学生学习的兴趣、态度和能力的发展随着数学证明中所使用的知识和和方法的不同而不同。有的数学证明中所使用的知识和方法能够激发学生的学习兴趣,端正学生的学习态度,发展学生的图1能力。如证明2和证明3中所使用的数形结合法第n个点形式的等腰直角三角形共有和倒序相加法发展了学生观察能力、从形和数的S(n)=1+2+3+4+⋯+n个点。现将两个完方面认识代数命题本质的能力,从而学生能够使全相同的第n个点形式的等腰直角三角形斜边用这些方法发现新的数学命题。有的数学证明中重合,组合成一个具有n2+n个点的点形式的正所使用的知识和方法只是形式上的逻辑推理和机方形。例如,n=4时,如图2所示。械的符号运算,不能激发学生的学习兴趣和发展学生的能力。如证明1所使用的数学归纳法只是验证了命题的正确性,不能发展学生认识数学命题本质的能力,因而学生不能使用它发现新的数学命题。四、学生对数学证明信服的程度学生对数学证明信服的程度随着数学证明中图2所使用的知识和方法的不同而不同。有的数学证n(n+1)因此,2S(n)=n2+n,即S(n)=。2明中所用的知识和方法简单、具体、熟悉、直观,因证明3:S(n)=1+2+3+⋯+n(1)而学生容易信服,如证明2、证明3。有的数学证S(n)=n+(n-1)+(n-2)+⋯+1(2)明中所用的知识和方法复杂、抽象、形式化,因而式(1)与式(2)相加,得不易令学生信服,如证明1。2S(n)=(1+n)+[2+(n-1)]+从上面的分析可以看出,在数学命题的证明[3+(n-2)]+⋯+(n+1)=中所使用的不同的知识和方法对证明的教育价值(n+1)+(n+1)+⋯+(n+1)=n(n+1)有着不同的影响。在中学数学证明教学中,有的n个教师在数学证明中只使用一种知识和方法,这样n(n+1)因此有S(n)=。会降低证明的教育价值。因此教师在中学数学证2证明1使用了数学归纳法和代数式运算的知明