2024年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的(1)已知函t,t,则(A)f(x)为奇函数，g(x)为偶函数(B)f(x)为偶函数，g(x)为奇函数.(C)f(x)与g(x)均为奇函数.(D)f(x)与g(x)均为偶函数.【答案】(C)(2)设P=P(x,y,2),Q=Q(x,y,2)均为连续函数，工为曲面z=√l-X²-y²(x0.y0)的上侧，则(C)【答案】(A)(3)已知幂的和函数为ln(2+x),(A)(B)(C)(D)···【答案】(A)(4)设函数f(x)在区间(-1,1)内有定义，(A)当时，f(0)=m.(B)当f(O)=m时，(C)当时，f(0)=m.(D)当f(O)=m时，.【答案】(B)(5)在空间直角坐标系O-xyz中，三张平面π:ax+by+cz=d(i=1,2,3)位置关系如图所示，记a,=(a,b,c),β=(a,b,c,d,),若r则,1(A)m=1,n=2(B)m=n=2(C)m=2,n=3(D)m=n=3.【答案】(B)(6)设向量若a₁,a₂,a₃线性相关，且其中任意。,两个向量均线性无关，则(A)a=1,b≠-1(B)a=1,b=-1(C)a≠-2,b=2(D)a=-2,b=2【答案】(D)(7)设A是秩为2的3阶矩阵，a是满足Aa=0的非零向量，若对满足β'a=0的任意向量β,均有Aβ=β,则(A)A³的迹为2(B)A³的迹为5(C)A⁵的迹为7.(D)A⁵的迹为9.【答案】(A)(8)设随机变量X与Y相互独立，X是服从N(0,2)的正态分布，Y是服从N(-2,2)的正态分布，若P{2X+Y<a}=P{X>Y},则a=(A)-2-√10(B)-2+√10√6(C)-2-2+√6(D)-【答案】(B)(9)设建机交置×的糖率卷酸为0<x,在X=x的条件下，Y其,在区间(x,1)上服从均匀分布，则cov(X,Y)=(A)(B)(c)(D)【答案】(D)(10)设随机变量X和Y相互独立，且都服从参数为入的指数分布，令Z=|X-Y|,则下列与Z服从同一分布的是(A)X+Y(B)(C)2X(D)X【答案】(D)二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分.(11)若,则a=【答案】612)z=f(u,v)有二阶连续导数，df|an=3du+4dv,y=f(cosx,1+x²),则【答案】5(13)若函数f(x)=x+1,若,xe[0,n],则极限【答案】(14)微分方程满足条件y(1)=0的解为(15)设实矩阵若对任意实向1,(a¹Aβ)²a¹Aaβ¹Aβ都成立，则a的取值范围【答案】a0.(16)随机试验每次成功的概率为p,现进行三次独立重复实验，已知至少成功一次的条件下全部成功的概率则p=,【答案】三、解答题：17～22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)已知平面区域D={(x,y)|√l-y²≤x≤1,-1≤y≤1},计算【答案】√Z+ln(l+√2)-2(18)(本题满分12分)设f(x,y)=x³+y³-(x+y)²+3,曲面z=f(x,y)在(1,1,1)处的切平面为T,T与三个坐标面所围有界区域在xoy面的投影为D(1)求T的方程(2)求f(x,y)在D上的最大值和最小值【答案】切平面x+y+z=3;最大值21,最小(19)设f(x)二阶可导，f(O)=f'(O),[f”(x)|≤1,证：【答案】1)泰勒公式2)把1)代入(20)(本题满分12分)已知有向曲线L为球面x²+y²+z²=2x与平面2x-z-1=0的交线从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，计算曲线积分ʃ(6xyz-yz²)dx+2x²zdy+xyzdz[答案】(21)(本题满分12分)已知数列{x,},{y,},{z}满足x₀=-1,y₀=0,z₀=2,且,记写出满足a=Aa₄的矩阵A,并求A”及,x,Y,z,(n=1,2,…){答案】x₄=8+(-2)”,yr=-8+(-2)**,z,=12.(22)(本题满分12分)设总体X～U(0,θ),θ未知，Xj,X₂…X。为简单随机样本，Xw=m