数学试题2023.12注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.（）A.B.C.D.2.设集合，则集合的真子集个数为（）A.32B.31C.16D.153.已知直线a、b与平面、，下列命题正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则4.已知，，，则向量与的夹角等于（）A.B.C.D.5.已知实数a、b、c满足：，则下列关系不可能成立的是（）A.B.C.D.6.如图，将钢琴上的12个键依次记为，，…，.设，若且，则称，为原位大三和弦.现随机按下两个白键和一个黑键，则恰好按下的是一个原位大三和弦的概率为（）A.B.C.D.7.设抛物线的准线与轴的交点为N，O为坐标原点，经过O、N两点的圆C与直线相切，圆C与抛物线E的另一个交点为P，若，则（）A.2或B.2或4C.或D.2或8.将一张如图所示的两直角边长度分别为8和15的直角三角形硬纸片，沿虚线剪成四块，这四块纸片恰好可以通过折叠，拼接形成一个密封的直三棱柱模型，则所得直三棱柱模型的体积为（）A.30B.24C.20D.18二、多项选择题：本题共4小题，每小题5-分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分；9.已知函数是定义在上的奇函数，则下列说法正确的有（）A.函数是偶函数B.函数的图象关于点对称C.函数是偶函数D.函数是奇函数10.在正方体中，为棱上任意一点（含端点），下列说法正确的有（）A.直线与直线一定异面B.直线与直线一定垂直C.直线可能与平面平行D.直线可能与平面垂直11.已知数列和都是等差数列，，，，设集合，，，若将集合中的元素从小到大排列，形成一个新数列，下列结论正确的有（）A.B.C.D.数列的前20项和为61012.如图，双曲线的左右焦点分别为和，点、分别在双曲线的左、右两支上，为坐标原点，且，则下列说法正确的有（）A.双曲线的离心率B.若且，则的渐近线方程为C.若，则D.若，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若直线与直线平行，则实数的值为__________.14.已知，则__________.15.已知直线与圆交于A、B两点，则弦长的最大值为__________.16.已知函数，曲线的一个对称中心为，一条对称轴为，则的最小值为__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，，（1）求的面积；（2）设为线段上一点，且，求的值.18.（本小题满分12分）为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽取了40名学生，按照性别和体育锻炼情况整理得到如下的列联表：性别锻炼合计不经常经常女生51015男生52025合计103040（1）根据上表数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素会影响学生体育锻炼的经常性？（2）如果将表中的数据都扩大为原来的倍，在相同的检验标准下，得到与（1）中不一样的结论.（i）求的最小值；（ii）如果抽样方式不变，你认为（1）和（2）的结论哪个更可靠，并说明理由.附：，其中0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819.（本小题满分12分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，面，为棱的中点，经过、、三点的平面交棱于点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角大小为，求平面与平面所成角的余弦值.20.（本小题满分20分）已知数列满足，，，.（1）求证：数列是等比数列；（2）记数列的前项和为，数列的前项和为，是否存在常数，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数，，.（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求实数的值.（2）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.（…为自然对数的底数）22.（本小题满分12分）椭圆的左右焦点为和，为椭圆的中心，过作直线、，分别交椭圆于、和、，且的最大值为