第六章ARIMAX模型一、ARIMAX模型的概念有时考虑其它序列对一个时间序列的影响，如太阳黑子对某地区降雨量的影响，石油价格对股价的影响。带有输入序列的一般ARIMA模型也称为ARIMAX模型。Box和刁锦寰提出ARIMAX模型。例子1)9.11事件对道琼斯指数的影响2）广告对销售量的效应3）美国月批发物价指数对零售价指数的影响4）1960年前后时间X1、冬季X2、夏季X3对臭氧数据Yt５）固有股减少X1、道琼斯指数X2、石油价格X3对上证指数数学模型设，是时间序列，（i=1,…,k）其中，称为传递函数模型，称为输入因子（干预因子），称为输出因子。Xt(1)Xt(2)…xt(k).注：为减少参数个数，通常考虑简化为：其中（i=1,……,k）=称上述模型为ARIMAX模型，又称为带有干预序列的ARIMA模型或动态回归模型。这个模型把相应序列表示为随机波动的过去值和其它序列（称为输入序列）的过去值的结合。响应序列也称为相依序列或输出序列，输入序列也称为独立序列或预测因子序列。二、两个独立滑动平均过程之和它是阶数分别为的两个独立平均过程之和即均是均值为零的白噪声且相互独立记可得的自相关函数当时为零故可表示成阶的单一滑动平均过程为零均值白噪声（证明可参考Hamiton《时间序列分析》）三、附加噪声对一般模型的影响考虑ARIMA设本身不可观测，只能观测到表示有关的附加的噪声，则对有若对有即则有四、带有回归项和时间序列误差的模型为解释变量，而误差是一个ARMA（p,q），生成。该式可以写为：。在传统模型中我们有，的最小二乘估计为，并具有性质。但在自相关误差的情形下，这种性质不再成立。此时最小二乘估计的协方差阵为。因此一般的样本性质和统计推断的方=1法，如关于估计的通常标准差公式，t-统计量及置信区间等就不再有效。例：，的子协方差为。的最小二乘估计为，它的方差为：如果模型中误差为不相关的，我们会取，而这会引起明显的错误推断。当对时间序列数据拟合回归模型时，总是需要考虑误差项存在自相关的可能性的。通常，对于误差识别一个恰当模型的可行方法是首先得出最小二乘估计，然后再得到相应的回归模型的残差这个残差序列可以用通常的时间序列方法来考察，这样可以对误差项建立一个实验性的模型。是渐近最优的，由此计算的自相关、偏相关等也是渐近最优的。而一般最优的线性估计，也称为广义最小二乘估计为。在实际中，根据噪声项确定具体的ARMA模型，可以确定协方差的具体形式，并可找到一个下三角阵，使得。令得到广义最小二乘估计为。因为的时间序列模型中的参数是未知的，所以必须在计算和极大似然估计以及模型中的参数之间迭代。（BOXJENKINSp415-420）附加噪声的传递函数模型干扰或噪声和的水平独立，且添加到有关的影响上，它们可以写成干预序列如果噪声模型可以用ARIMA(p,d,q)过程表示这里是白噪声，则模型最终可以写成：互协方差和互相关系数一般地，一个双变量随机过程无须是平稳的，但适当进行差分后的过程是平稳的，这里。一般，但称之为互协方差，和互相关系数一般，它关于不是对称的。（P470）互协方差和互相关的估计假设对原始的输入输出序列作了d次差分后有n=N-d对数值，那么滞后k互协方差系数的估计值为：传递函数模型的识别对预白噪化输入的传递函数模型的识别如果系统的输入是白噪声，则识别过程将很大程度被简化。假设适当差分后的输入过程是平稳的，并且可由ARMA模型来描述，那么可以对用通常的识别和估计方法得到一个模型：该式把相关的输入序列转化为非常接近不相关的白噪声。同时我们可以由的平方和得到的估计。如果我们对使用同样的变换得到：则原模型可以写为：其中转换后的噪声序列有将上式两边同时乘以并取数学期望，我们得到：于是因此，将输入白燥化后，在白燥化输入和经相应变换的输出之间的互相关函数直接与脉冲相应函数成正比。在实际中我们并不知道理论互相关函数，故我们可以用其估计量替代：噪声模型的识别假设模型可以写成（如果必要，做适当的差分之后）用前面所述方法给出传递函数的初步估计后，噪声序列的估计由下式得到：还可以用初步识别所确定的试用传递函数模型来替代。于是的计算：先通过写为递推计算出，然后由计算噪声序列。噪声的识别还可以利用经过白燥化后的输入和输出的相关函数来进行，即按照下列方法进行。假如输入可以被完全白燥化，如果可以找到一个随机模型，那么由上式可以对，从而对导出模型。记，便有，同时由于给出了独立性的假设，从而也独立。由此计算得到模型识别后可以用条件平方和法进行参数的计算。