中学生物理竞赛系列练习题第六章静电场1、如图所示，半径为R的圆环均匀带电，电荷线密度为λ，圆心在O点，过圆心跟环面垂直的轴线上有P点，PO=r，以无穷远为参考点，试求P点的电势U。P【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一个元段ΔL，它在P点形成的电势ΔU=kLR2r2环共有2R段，各段在P点形成的电势相同，而且它们是标L量叠加。【答案】U=2kRPR2r22、如图所示，球形导体空腔内、外壁的半径分别为R和R，带有净电量+q，12现在其内部距球心为r的地方放一个电量为+Q的点电荷，试求球心处的电势。【解析】由于静电感应，球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。根据静电感应的尝试，内壁的电荷量为－Q，外壁的电荷量为+Q+q，虽然内壁的带电是不均匀的，根据上面的结论，其在球心形成的电势仍可以应用定式，所以…【答案】U=kQ－kQ+kQq。orRR123、如图所示，三个带同种电荷的相同金属小球，每个球的质量均为m、电量均为q，用长度为L的三根绝缘轻绳连接着，系统放在光滑、绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断，三个球将开始运动起来，试求中间这个小球的最大速度。〖解〗设剪断的是1、3之间的绳子，动力学分析易知，2球获得最大动能时，1、2之间的绳子与2、3之间的绳子刚好应该在一条直线上。而且由动量守恒知，三球不可能有沿绳子方向的速度。设2球的速度为v，1球和3球的速度为v′，则动量关系mv+2mv′=0q2q2q2121能量关系3k=2k+k+mv+2mv2LL2L22解以上两式即可的v值。〖答〗v=q2k。3mL4、如图所示，一平行板电容器，极板面积为S，其上半部为真空，而下半部充满相对介电常数为ε的均匀电介质，当两极板分别带上+Q和−Q的电量后，试r求：（1）板上自由电荷的分布；（2）两板之间的场强；（3）介质表面的极化电荷。【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数，但由于改变了场强，故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为Q，介质部分电量为Q，12显然有Q+Q=Q12两板分别为等势体，将电容器看成上下两个电容器的并联，必有QQQQU=U即1=2，即1=212CCS/2•S/212r4kd4kd解以上两式即可得Q和Q。12场强可以根据E=U关系求解，比较常规（上下部分的场强d相等）。上下部分的电量是不等的，但场强居然相等，这怎么解释？从公式的角度看，E=2πkσ（单面平板），当k、σ同时改变，可以保持E不变，但这是一种结论所展示的表象。从内在的角度看，k的改变正是由于极化电荷的出现所致，也就是说，极化电荷的存在相当于在．．．．真空中形成了一个新的电场，正是这个电场与自由电荷（在真空中）形成的电场叠加成为E，所以2QQE=4πk（σ−σ′）=4πk（2−）2S/2S/2请注意：①这里的σ′和Q′是指极化电荷的面密度和总量；②E=4πkσ的关系是由两个带电面叠加的合效果。1【答案】（1）真空部分的电量为Q，介质部分的电量为rQ；（2）整11rr8kQ1个空间的场强均为；（3）rQ。(1)S1rr5、一细直杆，长为L，水平放置，杆上均匀带电，其电量为q.试求：（1）在杆的延长线上距杆的中点r处的场强；（2）在杆的垂直平分线上距杆的中点r处的场强。解：（1）选取坐标如图一所示，以杆的中点为原点。在杆上任取一电荷元，qdqdx,距原点为x.此电荷元在P点产生的L场强为1dq1qdEdx,4(rx)24L(rx)200此场强的方向沿x轴的正向。由于各电荷元在P点产生的场强的方向相同，所以整个带电直杆在P点产生的场强L1qEdE2dxL4L(rx)2201q111q[].4LLL4L20rr0r2224方向沿直杆向右。如果P点在杆的左侧，则场强1qE.负号表示场强E沿x轴的负方向，即沿直杆向左。4L20r24q（2）选取坐标系如图二所示。直杆上任一电荷元dqdx在P点产生的场强L1dq1qdxdE,4r2x24L(r2x2)00将dE分成x,y两个分量。由于对称性，x方向的分量相互抵消，所以E0。x而y方向的分量1qdxrdEdEsiny4L(r2x2)(r2x2)3/201qrdx,4L(r2x2)3/20于是，整个带电直