凝聚态物理和原子物理中的多体现象.doc
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18.514凝聚态物理和原子物理中的多体现象最后修订:2003年9月24日145在温度足够低的情况下,理想玻色气体的最低能态被巨观数量的粒子数占领,这种观象称为玻色-爱因斯坦凝聚。不同的动量占有态的和与自由玻色子气体的密度有如下形式其中,m为粒子质量,μ是化学势。在高温下,T>TBEC,密度为n时,无凝聚现象,此时n0=0,μTBEC)3/2)(3)下面将讨论在原子间相互作用中这一表现是如何修正的。我们的重点是弱非理想玻色气体问题。因为有简单的分析方法,这问题将可以阐明相互作用粒子玻色凝聚的新特点:自发对称破缺、非对角长程序及集体激发。1.1短程弱相互作用玻色气体其中,x=r,D=3.耦合常数是玻恩近似的双粒子散射幅,λ=?k=0=?U(x-xˊ)dx。更精确的公式是λ=4π?2a/m,其中a是s波的散射长度,下面将有讨论。2T=0时的基态由大占有数k=0态表征。在粒子数表像中,含有N个粒子的BEC态为|BEC〉=|Nk=0,0,0,…〉,即这个公式,拥有大粒子数N,应由相干态而非粒子数态来表示,c数代替算符?0,a0|BEC〉=|BEC〉等价。如果将BEC态理解为相干态,在允许所有粒子数的“大”空间下考虑问题(4),就可以实现上述替换过程。因为相干态〈δN2〉1/2=N1/2?N,所以由该方法得到的结果等价于固定粒子数N在极限N→∞中的问题。经过上述替换,场向量算符φ?=V-1/2∑kakeikr转换为经典场参数φ=,其中V是系统体积。最后,我们考虑相干态上式隐含了特性φ?|φ〉=φ|φ〉。这些态不对应任何特定数量的粒子,事实上它们由粒子数分布确定。因此,虽然哈密顿量(4)与算符对易,但在粒子数算符∑kak+ak下态|φ〉并非不变的。应理解BEC态显然不遵守粒子数守恒的原因。首先,我们注意到即,算符。应用于|φ〉,产生一个能量相同的态,和由平移α的位相φ。因为相干态的交迭满足|〈φˊ|φ〉|2=e-V|φˊ|φ|2,任意两个不同态|φ〉,|φˊ〉在极限V→∞下正交,因此有不同相因子的态|φ〉,|eiαφ〉是巨观可辨的。这说明BEC态形成由相因子0<α<2π参数化的简并多重态。让我们找到提供最小能量(4)的|φ〉态,以理清简并的来源。通过将与成正比的项加到中,→-μ,得到固定粒子数密度的最小能量。取数学期望值,得这是所谓的墨西哥帽状势。最小能量值落在圆|φ|2=μ/λ上,即位相φ是任意的,而模|φ|不变,因此给出密度与化学势的关系μ=λn.1由对称的观点来看,这种情况是很有趣的。微观哈密顿量(4)有全域的对称U(1),3因为在系统波函数中加入相因子后,φ?→eiαφ?,它保持不变。然而,基态并不拥有这样的对称性:向态中加入相因子将产生一个不同的基态。这种现象称为自发对称破缺,非相互作用玻色气体并不存这种现象。在相互作用系统中,U(1)对称破缺将产生基本的结果--超流。Penrose和Onsager提出另一个理解U(1)对称破缺的方法,该方法不用考虑粒子数起伏的态。可以从(4)的玻色气体基态|Φλ〉的密度矩阵的坐标表像开始,应用平移不变性,我们期望(9)式给定的量只依赖于两点之间的距离x-xˊ。利用傅利叶变换,(9)式变换为在玻色凝聚中,粒子分布nk于k=0处有奇点其中,f(k)是平滑函数。从而,密度矩阵(10)有两项:常数n0独立于距离。第二部分的(x-xˊ)在|x-xˊ|较大时为零。在距离较大时密度矩阵不为零是不正常的(回忆在任何液体中,所有内部相互作用在数个原子间距时消失)。有限的极限值n0=limj|x-xˊ|→∞〈Φλ|φ?+(xˊ)φ(x)|Φλ暗示量φ?(x),φ?+(xˊ)在某种意义上有不定位相以及模恒定的有限期望值。非对角长程序(ODLRO)的名字来源于相关现象,表现为密度矩阵的序由非对角元R(x-xˊ)|x-xˊ|→∞的行为决定。1Inafinite,butlargesystem,withfixedparticlenumber,thetruegroundstate(TGS)ofaq