图的D（2）点可区别及点可区别正常边染色的任务书任务书：给定一个简单无向图G=(V,E)，其中V={1,2,…,n}是图G的顶点集合，E是图G的边集合。请完成以下两个任务：1.D(2)点可区别：确定图G是否存在一个顶点v，对于任何满足dist(v,u)=2的顶点u，集合{u:dist(u,v)=1}都可以唯一地识别。2.点可区别正常边染色：给G的边染上两种颜色，使得对于任意两个点v和u，如果它们之间的距离为1，则它们之间的边必须涂上不同的颜色；如果它们之间的距离为2，则它们之间的边必须涂上相同的颜色。请你设计一个算法，针对以上两个任务给出一个时间复杂度为O(n+m)的算法，其中n为顶点个数，m为边数。同时，请描述你的算法流程和正确性证明。解：任务1：D(2)点可区别算法流程：我们首先随机选取一个顶点v作为起点，然后对于v的邻居u1和u2，我们将图分成两个部分，一个部分包括所有与u1相邻的点，另一个部分包括所有与u2相邻的点。我们可以通过BFS遍历，将所有与u1相邻的点标记为A集合，将所有与u2相邻的点标记为B集合。然后我们只需要检查A和B中的元素是否两两有公共邻居即可。正确性证明：我们首先证明如果存在一个顶点v，对于任何满足dist(v,u)=2的顶点u，集合{u:dist(u,v)=1}都可以唯一地识别，那么u1和u2的相邻点集合A和B是不交的。假设存在一个顶点w，既属于A又属于B，则w与u1和u2距离均为2，这意味着w无法唯一地识别。这与假设矛盾，因此，每个u1和u2的相邻点集合A和B都是不交的。现在我们证明，如果u1和u2的相邻点集合A和B是不交的，那么存在一个顶点v，对于任何满足dist(v,u)=2的顶点u，集合{u:dist(u,v)=1}都可以唯一地识别。我们选择任意的u1和u2，它们对应的集合A和B是不交的。我们令v为连接u1和u2的路径的中间点。显然，所有距离v的距离为1的点属于A或B，而不是同时属于它们两个。对于任何dist(v,u)=2的点u，u有一个公共邻居w，w连接到u的路径经过v。明显，u和w在A或B中恰好有一个共同的邻居，这意味着{u:dist(u,v)=1}可以唯一地识别。因此，我们通过检查A和B中的元素是否两两有公共邻居，可以判断是否存在一个顶点v，对于任何满足dist(v,u)=2的顶点u，集合{u:dist(u,v)=1}都可以唯一地识别，这个问题的时间复杂度为O(n+m)。任务2：点可区别正常边染色算法流程：我们仍然以BFS为基础，遍历整个图，同时进行边的染色。我们从一个随机的起点v开始，将与v相邻的所有点染为不同的颜色。然后对于与v距离为2的所有点u，如果u的邻居中有任何一个点的颜色相同，u与v的连边染成相同的颜色，否则，u与v的连边染成不同的颜色。如果我们得到了一个矛盾的染色方案，那么该图不存在所需的染色方案。正确性证明：对于与v距离为1的任意两个点u和w，这两个点的边必须涂上不同的颜色以满足要求。我们从v开始，逐步扩展到所有距离为2的点。对于任何一个距离为2的点u，我们将涂色限制为u的相邻点的颜色。如果u的相邻点存在一个颜色相同的点，则u和v的连边必须染成相同的颜色。如果u是距离为2的另一个点w的相邻点，则u和w的连边必须染成相同的颜色。我们可以证明，如果存在满足条件的涂色方案，则上述过程一定会成功。因为我们从v开始遍历整个图，对于任何距离为2的点u，我们都考虑了其相邻点的颜色。因此，如果存在染色方案，则我们一定能找到一种方案，仅对路径长度为2的点施加所有限制条件。因此，我们通过BFS遍历和涂色算法，可以判断是否存在一种颜色方案，使得对于任意两个距离为1的点，它们之间的边必须涂上不同的颜色；如果它们之间的距离为2，则它们之间的边必须涂上相同的颜色。这个问题的时间复杂度为O(n+m)。