华东师范大学2023年高等代数考研试题##2023华东师范大学高等代数考研试题###一、选择题1.集合P是实数集，则“∃x∈P,x+2<7”的否定形式是A.∀x∈P,x+2<7∀xB.∈P,x+2≥7∃x∈C.P,x+2≥7D.∃x∈P,x+2>72.下列命题中，属于广义算子*的特征是A.x*y=x+yB.x*x=xC.x*1=xD.x*0=13.已知αβγ三个元素的秩为3，由α+β=γ知下面最小的空间维数是A.0B.1C.2D.34.对于一个n阶矩阵A，若所有元素都为0，那么A的行列式的值是A.nB.n!C.0D.1###二、填空题5.多项式f(x)=2x²-3x+5在x=1处的值是_________。6.有限集P={2,3,4,7,中n}n的最小可能值是_________。###三、解答题7.设m、n是自然数，证明对任意（m，n）∈N*×N*，都有m+n大于等于mn+1。证明：由算术基本定理知，对于任意非负整数m，都有m!+1>m，将m及n分别代入m!+1>m及m+n≥mn+1，化简后有（m+1）!>m+n，发现左右两边同乘以（m+1），可以得出（m+1）m!>m（m+1）+m（n−1），即mn+m>m（m+1），减去m（m+1）得mn>0，同时减去m+n<mn+1得负，此仅在m>0时成立，故该式成立。由例出可知m，n都大于等于0，因此该式成立，即m+n≥mn+1成立，证毕。8.已知线性代数空间V、W和线性映射T：V→W，请回答下列问题：（1）V和W是否都有双重自反？（2）V和W是否都有对称？（3）T是否具有线性特性？（1）双重自反：V和W均需要满足双重自反的性质才可以。（2）对称：若存在T：V→W的线性映射，则V和W均需要满足对称性质。（3）线性特性：T满足线性特性，即存在T：V→W，则T是线性映射。