PAGE\*MERGEFORMAT7高二数学竞赛班一试讲义第6讲平面向量与空间向量班级姓名一、知识要点：1.叫做在方向上的投影；叫做在方向上的投影。·的几何意义：数量积·等于的长度与在方向上的投影的乘积2.向量处理方法：（建系、几何、取基底）3.向量的插点：4.三点共线5.点是内任一点，则有：点在外时，面积有正负，则等式仍成立6.可以进行合情推理，空间中也有点是四面体内任一点，则有：7.内各种心的向量关系利用第5点结论有：1）是重心：2）是内心：3）是外心：，另有，，4）是垂心：，二、例题精析例1．已知平面向量满足，且与的夹角为120°，求的取值范围。例2．已知是锐角的外心，，，若，且，则=．例3．在△ABC中，点E，F分别是线段AB，AC的中点，点P在直线EF上．若△ABC的面积为2，则的最小值是_____．例4．(1)已知是棱长为的正方体内切球的直径，是该正方体表面上一点，则的最大值为．(2)若满足，，且，则的取值范围是．例5．(1)在中，，是的中点．若，则．(2)在正中，已知，则与的夹角是__________例6．已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，则下列一定成立的是（）A.B.其中是抛物线过的切线C.D.例7．已知椭圆：的左焦点为，过作动直线与椭圆交于两点，点在椭圆上运动，为坐标原点，若点满足，则称点为“好点”，则椭圆上“好点”的个数有（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个三、精选习题1．已知非零向量满足，且,则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形2．已知是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是（）A．B．C．D．3．已知△ABC平面内一点O满足,则O一定为△ABC的()A．外心B．内心C．重心D．垂心4．若非零向量满足，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．已知向量，，，。则的最小值为（）（A）（B）（C）（D）6．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB//CD，AD＝CD＝1，AB＝3，动点P在△BCD内运动(包含边界)，设，则的取值范围是()A.[1，]B.[，]C.[，]D.[1，]7．已知向量满足，，则的最小值为()A．B．C．D．8．设是边上一定点，满足，且对于边上任一点，恒有。则（）A.B.C.D.9．已知向量，，,则是（）A．B．C．D．10．在直角三角形中，，，点是斜边上的一个三等分点，则11．在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上且，则．12．在△ABC中，若，则13．如图2,,点在由射线,线段及的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且,则的取值范围是__________;当时,的取值范围是__________.14．如上右图所示，O、A、B是平面上的三点，向量a，b点P是线段AB的垂直平分线上任意一点，p，若|a|=4，|b|=2，则15．在△中，，．设是△的内心，若，则的值为．[来源:学_科_网]16．若等边的边长为，平面内一点M满足，则．17．设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于________。18．已知△ABC中，，，点是线段（含端点）上的一点，且，则的最小值为19．已知中，点是外心，，，则________。20．设向量满足||=||=1,,，则的最大值是21．已知向量a=(–1,2)，又点A(8,0),B(n,t),C(ksin,t)，(0).(1)若a，且||=||，求向量;(2)若向量与向量a共线，当k>4时，且tsin取最大值为4时，求.高二数学竞赛班一试讲义第6讲平面向量与空间向量例1．【解】方法一：几何，圆周角表示，表示，表示与的夹角为120°故点在图示圆弧（半径为）上运动故方法二：法令，与的夹角为120°故例2．同理：联立得例3．【解】ABCPEFD方法一如图，设PD＝，BD＝x，DC＝y．则h(x＋y)＝4．∴．方法二设△PBC中点P，B，C所对的边分别为．由题设知，∴．设，则，即．此时的最小值为．方法三如图建立平面直角坐标系，过点P作PD垂直BC于D，则设，，．例4．(1)2(2)）设，点在以为直径的圆上，设的中点为，则有，则，解不