经典例题透析类型一：求函数的平均变化率例1、求在到之间的平均变化率，并求，时平均变化率的值.思路点拨:求函数的平均变化率，要紧扣定义式进行操作.解析：当变量从变到时，函数的平均变化率为当，时，平均变化率的值为：.总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式，其他就迎刃而解.举一反三：【变式1】求函数y=5x2+6在区间[2，2+]内的平均变化率。【答案】，所以平均变化率为。【变式2】已知函数，分别计算在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；（4）[1，1.001].【答案】（1）4；（2）3；（3）2.1；（4）2.001.【变式3】自由落体运动的运动方程为，计算t从3s到3.1s，3.01s，3.001s各段内的平均速度（位移s的单位为m）。【答案】要求平均速度，就是求的值，为此需求出、。设在[3，3.1]内的平均速度为v1，则，。所以。同理。。【变式4】过曲线上两点和作曲线的割线，求出当时割线的斜率.【答案】3.31当时类型二：利用定义求导数例2、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。解析：∵∴∴。总结升华：利用导数的定义求导数的步骤：第一步求函数的增量；第二步求平均变化率；第三步取极限得导数。举一反三：【变式1】已知函数（1）求函数在x=4处的导数.（2）求曲线上一点处的切线方程。【答案】（1），（2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为，∴所求切线的斜率为。∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。【变式2】利用导数的定义求下列函数的导数：（1）；（2）；（3）；（4）。【答案】（1），∴，∴。（2），∴，∴。（3），∴，∴。（4），∴，∴。例3、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.思路点拨：从函数在一点处的导数定义可求得函数y=x3+2x在x=1处的导数值，再由导数的几何意义，得所求切线的斜率，将x=1代入函数可得切点坐标，从而建立切线方程.解析：设.由f(1)=3，故切点为（1，3），切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.总结升华:求函数图像上点处的切线方程的求解步骤：求出导函数在处的导数（即过点的切线的斜率），用点斜式写出切线方程，再化简整理。举一反三：【变式】在曲线y=x2上过哪一点的切线：（1）平行于直线y=4x―5；（2）垂直于直线2x―6y+5=0；（3）与x轴成135°的倾斜角。【答案】，设所求切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为k=2x0（1）因为切线与直线y=4x―5平行，所以2x0=4，x0=2，y0=4，即P（2，4）。（2）因为切线与直线2x―6y+5=0垂直，所以，得，，即。（3）因为切线与x轴成135°的倾斜角，所以其斜率为―1。即2x0=―1，得，，即。例4．已知函数可导，若，，求解析：（）（令t=x2，x→1，t→1）举一反三：【变式】已知函数可导，若，，求【答案】类型三：利用公式及运算法则求导数例5．求下列函数的导数：（1）；（2）（3）；（4）y=2x3―3x2+5x＋4解析：（1）.（2）.（3）∵，∴.（4）总结升华：①熟练掌握导数基本公式，仔细观察和分析各函数的结构规律，选择基本函数求导公式进行求导；②不具备求导法则条件的，一般要遵循先化简，再求导的原则，适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成.举一反三：【变式】求下列函数的导数：（1）；（2）（3）y=6x3―4x2+9x―6【答案】（1）.（2）∴.（3）例6．求下列各函数的导函数（1）；（2）y=x2sinx;（３）y=；（４）y=解析：（1）法一：去掉括号后求导.法二：利用两个函数乘积的求导法则=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx（３）=（4）==举一反三：【变式1】函数在处的导数等于()A．1B．2C．3D．4【答案】D法一：∴.法二：∵∴∴.【变式2】下列函数的导数（1）；（2）【答案】（1）法一：∴法二：=+（2）∴【变式3】求下列函数的导数.（1）；（2）；（3）.【答案】（1），∴.（2），∴.（3）∵，∴.类型四：复合函数的求导例7．求下列函数导数.（1）；（2）；（3）；（4）.思路点拨:求复合函数的导数首先必须弄清函数是怎样复合而成的，然后再按复合函数