偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。§1差分方法的基本概念1.1几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson）方程特别地，当时，即为拉普拉斯（Laplace）方程，又称为调和方程Poisson方程的第一边值问题为其中为以为边界的有界区域，为分段光滑曲线，称为定解区域，，分别为，上的已知连续函数。第二类和第三类边界条件可统一表示为其中为边界的外法线方向。当时为第二类边界条件，时为第三类边界条件。抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题初边值问题其中，，为已知函数，且满足连接条件边界条件称为第一类边界条件。第二类和第三类边界条件为其中，。当时，为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。双曲型方程:最简单形式为一阶双曲型方程物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为1.2差分方法的基本概念差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：（1）选取网格；（2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；（3）求解差分格式；（4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程问题的一般过程及差分方法的基本概念。设有一阶双曲型方程初值问题。选取网格：－2h-h0h2h3h首先对定解区域作网格剖分，最简单常用一种网格是用两族分别平行于轴与轴的等距直线，将分成许多小矩形区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点，和分别称作方向和方向的步长。这种网格称为矩形网格。对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式：如果用向前差商表示一阶偏导数，即其中。方程在节点处可表示为其中。由于当足够小时，在式中略去，就得到一个与方程相近似的差分方程此处，可看作是问题的解在节点处的近似值。同初值条件结合，就得到求问题的数值解的差分格式。式称为差分方程的截断误差。如果一个差分方程的截断误差为，则称差分方程对是阶精度，对是阶精度的。显然，截断误差的阶数越大，差分方程对微分方程的逼近越好。若网格步长趋于0时，差分方程的截断误差也趋于0，则称差分方程与相应的微分方程是相容的。这是用差分方法求解偏微分方程问题的必要条件。如果当网格步长趋于0时，差分格式的解收敛到相应微分方程定解问题的解，则称这种差分格式是收敛的。§2椭圆型方程第一边值问题的差分解法本节以Poisson方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。2.1差分格式的建立考虑Poisson方程的第一边值问题取分别为方向和方向的步长，如图所示，以两族平行线，将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为。定解区域内部的节点称为内点，记内点集为。边界与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为。与节点沿方向或方向只差一个步长的点和称为节点的相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于，称为正则内点，正内点的全体记为，至少有一个相邻节点不属于的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为。问题是要求出第一边值问题在全体内点上的数值解。为简便，记，，。对正则内点，由二阶中心差商公式Poisson方程在点处可表示为其中为其截断误差表示式，略去，即得与方程相近似的差分方程式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数则除了包含正则内点处解的近似值外，还包含一些非正则内点处的近似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处Poisson方程的差分近似不能按上式给出，需要利用边界条件得到。边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。（1）直接转移用最接近非正则内点的边界点上的值作为该点上值的近似，这就是边界条件的直接转移。例如，