上海交通大学2005年工程硕士数学模拟试题1参考答案第页共NUMPAGES5页上海交通大学2005年工程硕士模拟试题1参考答案试题名称:高等数学(含线性代数)注：本试题共五大题，22小题，满分100分填空题(每小题3分，共15分)1.2.3.4.的收敛半径为35.选择题(每小题3分，共15分)6.D7.D8.C9D10.C计算题(一)(每小题6分,共36分)11.解12.解设13.解14.求微分方程在原点处与直线相切的特解.由题意得初始条件:特征方程为原方程,设特解为将特解代入方程经比较得故方程的通解为①②将代入①,代入②得故所求特解为(另外,也可设为的特解,显然,设为的特解,可解得,.因此,)15.计算二重积分,其中D是由直线和曲线所围成的闭区域.解16.将展开成的幂级数,并求收敛域.解计算题(二)(每小题6分,共24分)17.设矩阵X满足求矩阵X.解矩阵方程可化简为,若矩阵(A-B)可逆,则故18.设讨论取何值时方程组有无穷多组解,并求出通解.解当时方程组有有无穷多组解,这时增广矩阵变为方程组的通解为(k为任意常数)19.设A为三阶矩阵,已知|A|=5,求.解20.已知三阶矩阵A的特征值为1,1,-1,为特征值1对应的特征向量,为特征值-1对应的特征向量,A是否能相似于对角矩阵?说明理由.求An,n为正整数.解(1)A能相似于对角矩阵.由于A是3阶矩阵,且与特征值1对应A有两个线性无关的特征向量,因此A有3个线性无关的特征向量,所以A能相似于对角矩阵.(2)令,且故证明题(每小题5分,共10分)21.设在[0,1]连续,且证明:方程在[0,1]内只有一个根.证令,则F(x)在[0,1]连续,由于由零点定理,F(x)在(0,1)内至少有一个零点;又F(x)在(0,1)可导,且,即F(x)在(0,1)内单调递增故F(x)在(0,1)内至多有一个零点,即方程在[0,1]内只有一个根.22.设为n维列向量组,它们线性无关,A为n阶可逆矩阵,证明:也线性无关.证(反证法)设线性相关,即存在不全为零的m个数使由于矩阵A可逆,故,即线性相关,矛盾.