二面体群上的局部本原Cayley图的中期报告介绍：本文主要讨论二面体群上的局部本原Cayley图的概念、性质和构造方法。首先给出二面体群和Cayley图的定义，然后引入局部本原Cayley图的概念，证明该图是一个无向图，并且是一致定向的。接着讨论局部本原Cayley图的边缘相似性质和正则性质，说明其相邻节点之间有一定的关系并且边数满足一定规律。最后，给出局部本原Cayley图的构造方法，说明可以从一个点出发进行递归构造。关键词：二面体群、Cayley图、局部本原Cayley图、边缘相似性质、正则性质1.二面体群和Cayley图的定义二面体群是指由所有的旋转和翻转对称变换组成的群，记为Dn，其中n是对称轴的个数。Cayley图是指以群元素为节点，以群元素间运算为边的图形。对于一个有限群G和一个生成元素集合S，我们可以构造出一个G关于S的Cayley图C(G,S)，其中S是G的一个生成元素集合。2.局部本原Cayley图的概念对于二面体群Dn，任取一个生成元素s，我们可以以s为中心，将Dn划分成两个子群，一个由旋转对称变换组成，一个由翻转对称变换组成。我们选取其中一个子群作为生成元素集合，构造出其对应的Cayley图。这个Cayley图就称为二面体群Dn上的局部本原Cayley图，并记为LCG(Dn,s)。3.局部本原Cayley图的性质3.1无向图性质对于局部本原Cayley图LCG(Dn,s)，其边是由群运算而来的，因此是无向的。3.2一致定向性质在局部本原Cayley图LCG(Dn,s)中选取一个节点作为起点，我们可以将其他节点按照到起点的距离从小到大排列，并给出一个一致的方向。这个方向可以表示为从起点出发到达其他节点的路线方向。4.局部本原Cayley图的边缘相似性质和正则性质4.1边缘相似性质对于局部本原Cayley图LCG(Dn,s)中的任意一个节点v，它的k级边缘是指到v距离为k的所有节点和到v距离为k-1的节点的边。我们称两个节点的k级边缘是相似的，如果它们都是从同一个节点的k-1级边缘扩展而来的。显然，对于局部本原Cayley图LCG(Dn,s)中的任意一个节点v，它的k级边缘是相似的。4.2正则性质对于局部本原Cayley图LCG(Dn,s)，任意一个节点v的邻接节点数为|S|，也就是跟S中的每个生成元素对应的节点相邻。对于任意一个整数k≥1，若对于节点v的k级边缘中的每个节点，它们的邻接节点数均为n，则v的(k+1)级边缘中的每个节点的邻接节点数均为n×|S|。也就是说，局部本原Cayley图的邻接节点数满足一定的规律。5.局部本原Cayley图的构造方法对于二面体群Dn上的某个生成元素s，我们可以采用递归的方式构造出LCG(Dn,s)。具体步骤如下：步骤1：构造s关于Dn的Cayley图C(Dn,{s})。步骤2：找到C(Dn,{s})中所有的翻转对称变换节点，将这些节点相邻的旋转对称变换节点加入到生成元素集合中。步骤3：将新生成的生成元素集合拓展到Dn的一个子群上，构造出新的Cayley图。步骤4：利用步骤2和步骤3的结果，对新的Cayley图进行递归构造，直到满足要求。结论：局部本原Cayley图在实际应用中有着广泛的应用，例如在设计数据结构、密码学、图论等领域中都有着重要的作用。通过本文的介绍，我们对于该图的概念、性质和构造方法有了更深入的理解。