专题辅导1求极限的方法与技巧极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学课程的基本要求.本讲较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，并按方法分专题.有些例题给出了多种解法，对同一题目的不同解法以不同题号分别按专题排列，但前后注明，以便对照.这里，我们将通过一些典型的例题，对求极限的方法加以归纳、总结.求极限的方法很多，且非常灵活，但掌握极限的性质及四则运算法则，掌握极限存在的两个准则、两个重要极限，掌握等价无穷小代换定理、洛必达法则，并会利用它们求极限是非常重要的.本讲重点讨论未定式的极限求法.（一）利用极限四则运算法则求极限对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数作某些恒等变形或化简.采用怎样的变形与化简，要根据具体的算式确定，常用的有分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和公式与求积公式以及适当的变量替换等.()xh+−22x例1.1求极限lim.h→0h[分析]本题属（0）型未定式，分子、分母均为有理多项式，往往采用约分的方法，消去0分子与分母的零因式h.(xhxxhx++)(+−)解法1原式=lim=lim(2xh+=)2xhh→→00h解法2见例1.39.mx−1例1.2求极限lim（其中mn,为正整数）.x→1nx−1[分析]这是含根式的（0）型未定式，应当先将其有理化，再约去分子、分母中的零因式.01解令tx=mn，则当x→1时，t→1.tn−1(ttt−1)(nn−−12+++1)ttnn−−12+++1n原式=lim=lim−−=lim−−=tt→→11tm−1(ttt−1)(mm12+++1)t→1ttmm12+++1m23nn++11+例1.3求极限limn→∞23nn+∞[分析]n→∞时，它是（）型未定式，将分子、分母同除以3n，使之变为适合于极限∞四则运算法则的数列极限.22()×+n3解原式=lim3=3n→∞2()n+131−x4例1.4设fx()=，则limfx()=（）xx(1+4)x→∞(A)−1,(B)0,(C)1,(D)∞解分子、分母同除以x5115−原式=limxx=0x→∞1+1x4故选（B）13例1.5求极限lim(−)x→111−−xx311[分析]当x→1时,→∞,→∞,故这是()∞−∞型未定式，一般采用先通分的11−−xx3方法，然后视通分的极限类型再决定下一步应采取的方法.13xx2+−2(x−1)(x+2)解−==11−−xx31−x32(1−x)(1++xx)0故通分以后将原式变成()型未定式,可约去分子分母中的零因式后求极限.0(xx−1)(+2)−+(x2)原式=lim=lim=−1xx→→11(1−x)(1++xx22)1++xx例1.6求极限lim((x+axb)(+−)x)x→+∞∞[分析]这是含有根式的()∞−∞型未定式，可以先将分子有理化，化为()型未定式再求∞解.(xaxb+)(+−)x2()abxab++解原式=lim=limxx→+∞(x+axb)(++)x→+∞(x+axb)(++)xabab++ab+=limx=x→+∞ab2(1+)(1++)1xx例1.7求极限limxx(2++1x)x→−∞∞[分析]这是(∞⋅0)型未定式，应当先将分子有理化，变为()型极限，再作处理.∞x11解原式=lim=lim=−xx→−∞2+−→−∞12xx1−+11−x2这里，应当注意的是当函数中含有偶次根式时，若给分子、分母同除以x就应当看x>0还是x<012n−1例1.8求极限lim(+++)n→∞nn22n212n−1[分析]随着n→∞，数列x=+++的项数也趋向于无穷，而极限的运算nnn22n2法则：代数和的极限等于极限的代数和只对有限多个函数成立.因此，求无穷多项和的极限时应当先利用某些求和公式将其变为有限项再继续求解.nn(−1)解法1使用自然数前n−1项和公式：1++2+(n−1)=21nn(−1)111原式=lim⋅=lim(1−=)nn→∞nn2222→∞解法2见例1.47.n例1.9求极限lim(1++aa)(122)(1+a)，其中a<1n→∞[分析]由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应当先用求积公式将其变形.解多次使用恒等式(x−yx)(+=−y)x22y化简