第10章离散小波变换的多分辨率分析章2011-5-1712011-5-17210.1多分辨率分析的引入10.1.1信号的分解近似现以信号的分解近似为例来说明多分辨率分析的基本概念。给定一个连续信号,我们可用不同的基函数并在不同的分辨率水平上对它作近似。?1φ(t)=??00≤t<1其它它的整数位移相互之间是正交的?φ(t?k),φ(t?k′)?=δ(k?k′),k,k′∈Z2011-5-173这样，由φ(t)的整数位移φ(t?k)就构成了一组正交基。x设空间V0由这一组正交基所构成，这样，(t)在空间V0中的投影（记作P0x(t)）可表为：P0x(t)=∑ak0(k)φ(t?k)=∑ak0(k)φ0,,k(t)kφ0,k(t)=φ(t?k)2011-5-1742011-5-1752011-5-176φj,k(t)=2?j/2φ(2?jt?k)是由φ(t)作二进制伸缩及整数位移所产生的函数系列?φj,k(t),φj,k′(t)?=2?j∫φ(2?jt?k)φ?(2?jt?k′)dt=∫φ(t?k)φ?(t?k′)dt=δ(k?k′)2011-5-1772011-5-178Pjx(t)=∑aj(k)2?j/2φ(2?jt?k)=∑aj(k)φj,k(t)kkj越小，近似的程度越好，也即分辨率越高。2011-5-179V0?V12011-5-17102011-5-17112011-5-17122011-5-17132011-5-1714D,xd,x2011-5-1715P0x(t)=Px(t)+D1x(t)1V0=V1?W1V0=V1?W1=V2?W2?W1=?Vj?Wj?Wj?1??W1V0?V1?V2??Vj?Vj+1?2011-5-17162011-5-17172011-5-17182011-5-171910.1.2树结构理想滤波器组W1(/2-)H1(z)x(n)↓2W2(/4-/2)H1(z)↓2H0(z)↓2V2(0-/4)H0(z)V1(0-/2)↓22011-5-17202011-5-17212011-5-17222011-5-172310.2多分辩率分析的定义改变信号的分辨率使得我们可以只处理特定任务的相关细节。在计算机视觉中，Burt和Adelson引进了一个能先处理低分辨率图像、在必要时进而有选择地提高分辨率的多分辨率金字塔。本节论述多分辨率逼近，它为正交小波的构造奠定了基础。如下多分辩率分析的定义，是由Mallat和Meyer引进的，它详细地阐述了多分辨率空间的数学性质。2011-5-17242011-5-17252011-5-17262011-5-17272011-5-17282011-5-17292011-5-17302011-5-1731Φ(?)=[2011-5-17θ?(?)k=?∞∑∞θ?(?+2kπ)]1/23222011-5-17332011-5-17342011-5-17352011-5-17362011-5-17372011-5-17382011-5-17392011-5-17402011-5-174110.4二尺度差分方程2011-5-17422011-5-1743∞ttφ(j)=2∑h0(k)φ(j?1?k)22k=?∞∞ttψ(j)=2∑h1(k)φ(j?1?k)22k=?∞“二尺度差分方程”它们揭示了在多分辨率分析中尺度函数和小波函数的相互关系，是多分辨率分析中小波函数和尺度函数的一个重要性质。2011-5-17442011-5-17452011-5-1746?1φ(t)=??00≤t<1其它?1?ψ(t)=??1?0?0≤t<1/21/2≤t<1其它t1φ()=φ(t)+φ(t?1)=2[φ(t)+22t1ψ()=φ(t)?φ(t?1)=2[φ(t)?221h0(0)=2h0(1)=12h1(0)=121φ(t?1)]21φ(t?1)]21h1(1)=?2这是Haar小波及其尺度函数所对应的滤波器的系数。2011-5-17472011-5-17482011-5