山东大学博士学位论文粗糙集与粗糙函数模型研究姓名：王耘申请学位级别：博士专业：系统理论指导教师：史开泉20080410摘要本论文讨论粗糙集理论和粗糙函数模型的若干相关问题．主要研究内容包括：粗糙函数模型基本理论的深化和推广，粗糙函数模型中粗糙隶属函数及其性质讨论，粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性，以及离散函数的粗连续性讨论，粗糙函数模型中粗微积分及其应用，等等．发展概况，粗糙集理论的研究领域与现状，以及粗糙集理论的基本概念．第二章深化和推广了基于粗糙集理论的粗糙函数模型．Pawlak的粗糙函数模型未给出任一实数在实轴和标度两种度量下的离散化形式，其中粗糙函数的定义未能反映出粗糙函数定义和取值于整数集的显著特征．从数学的角度来看，这种定义是不严格的；从应用的角度来看，这种定义形式下的粗糙函数是不适于计算机及粗糙控制等方面的应用的．本章对Pawlak粗糙函数模型的基本概念进行改进，第二节提出标度上(下)近似，实轴上(下)近似两对近似算子的概念，并分析二者的性质及其对偶特性，给出标度双射定理及相关命题和结论．第三节以不可分辨关系为出发点，将两对近似算子推广N-维平面，建立新的实轴一标度粗糙函数模型(RL-S粗糙函数模型)．第三章对粗糙函数模型中的粗糙区间与粗糙隶属函数及其性质展开讨论．在实轴一标度粗糙函数模型(RL—S粗糙函数模型)的理论框架下，第二节定义了粗糙函数模型中的粗糙数、粗糙区间等概念，通过分析得出粗糙区间类似于粗糙集的一系列运算性质．第三节讨论了粗糙隶属函数及其性质并利用粗糙隶属函数给出粗糙区间另一种形式的等价定义．利用实数域上的上下近似算子及分析其诸多性质．提出两个定理说明了粗糙区间的粗包含与粗相等的两种定义形式在考虑粗糙区间边界信息的附加条件下是等价的．于对应某一标度的不可分辨关系，将实数轴划分成由点及，lI区间构成的等价类，即将实轴离散化．离散化后的实轴上也存在数列这一概念，那么实轴的离第一章是对粗糙集相关理论的简要综述．主要介绍了粗糙集提出的背景与粗糙隶属函数两种工具，第四节分别定义粗糙区间的粗包含与粗相等关系，并第四章讨论粗糙函数模型中粗柯西数列的若干数学特性．粗糙函数模型基山东，j学博．I’学位论文散化对数列的影响是什么，离散化后实轴上的数列又有什么相同和不同的性第二节定义并讨论实轴离散化后，粗柯西数列的收敛性．给出实数轴离散化后与收敛数列极限唯一性定理截然相反的性质，即提出粗收敛数列粗极限的不唯一性定理．讨论了收敛与粗收敛、发散与蔗R发散的逻辑关系，并对相关结论的的关系．分别提出粗收敛的必要条件和充分条件．第四节给出离散化数轴上粗于实数轴的一般实函数，其中一类重要的函数就是连续函数，而在粗糙函数模型中，粗糙连续性也是其中离散函数的一个首要性质．关于离散函数的粗糙连续性，Pawlak仅给出其定义和以充要条件的形式给出粗连续函数的介值定理，并未加证明．而其他少有的相关文献也未对该理论进行探讨．关于粗糙函数模型及粗糙连续性等相关理论和应用的完善是一个亟待解决的问题．事实上，Pawlak给出的粗糙连续性定义与实函数的连续性定义是没有可比性的，而Pawlak改进后的介值定理中的充要条件是不满足的，即只成立粗连续的必要条件，充分条件不成立．为此我们提出以下问题：Pawlak粗糙连续性与实函数的连续性有何关系?它满足什么运算性质?闭区间上连续实函数的性质定理对粗糙连续离散函数是否成立，如何证明?粗糙函数模型中的离散函数是否也与经典连续的￡_占定义相类似的形式给出离散函数粗连续的概念，并且证明了粗糙连续性的矿6定义与Pawlak粗糙连续性的另两种定义是一致的．第三节讨论粗连续函数的取大，取小，取余等一系列运算性质．第四节将闭区间上连续介值定理．以反例的形式说明了Pawlak介值定理的充分性不成立．提出与粗糙连续性密切相关的连通函数的概念，以此为工具对新介值定理作出严格的证明．第五节提出离散函数的粗不动点的概念，给出粗糙连续函数的粗不动点定理，质?这些问题在Z．Pawlak的粗糙函数模型中并未涉及．针对以上问题，本章直观意义予以说明．第三节定义了粗有界性等概念，分析了有界性与粗有界性柯西数列与其子列的关系定理及其推论，并以不可分辨关系为出发点对相应例子加以说明．第五章研究粗糙函数模型中的粗连续离散函数及其性质．对于定义和取值存在不动点的相关概念和理论?等等．本章针对以上问题展开讨论．第二节以函数的性质加以推广，给出闭区间上离散函数的最值定理，有界性定理及新的并做了一定探讨．筇六审对粗糙函数模型中的糊微积分及其应用问题屉丌讨论．本章的具体山东人学博：l：学位论文出两个离散函数四则运算的粗导数法则和高阶粗导数公式；并指出对于～般的离散函数，不成立费马定理和罗尔定理．在Pawlak给出