第五章离散系统的时域分析5.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程二、差分方程的经典解五、零输入响应和零状态响应5.2单位序列响应和阶跃响应一、单位序列和单位阶跃序列二、单位序列响应和阶跃响应5.3卷积和一、序列分解与卷积和二、卷积的图示五、卷积和的性质第五章离散系统的时域分析5.1LTI离散系统的响应一、差分与差分方程设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)，f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的差分运算。（1）一阶前向差分定义：?f(k)=f(k+1)–f(k)（2）一阶后向差分定义：?f(k)=f(k)–f(k–1)式中，?和?称为差分算子，无原则区别。本书主要用后向差分，简称为差分。1.差分运算5.1LTI离散系统的响应（3）差分的线性性质：?[af1(k)+bf2(k)]=[af1(k)+bf2(k)]-[af1(k-1)+bf2(k-1)]=a[f1(k)-f1(k-1)]+b[f2(k)-f2(k-1)]=a?f1(k)+b?f2(k)（4）二阶差分定义：?2f(k)=?[?f(k)]=?[f(k)–f(k-1)]=?f(k)–?f(k-1)=f(k)–f(k-1)–[f(k-1)–f(k-2)]=f(k)–2f(k-1)+f(k-2)（5）n阶差分:?nf(k)=f(k)+b1f(k-1)+…+bnf(k-n)5.1LTI离散系统的响应2.差分方程包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。例：若描述某系统的差分方程为y(k)+3y(k–1)+2y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。解：y(k)=–3y(k–1)–2y(k–2)+f(k)y(2)=–3y(1)–2y(0)+f(2)=–2y(3)=–3y(2)–2y(1)+f(3)=10……一般不易得到解析形式的(闭合)解。5.1LTI离散系统的响应二、差分方程的经典解y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=bmf(k)+…+b0f(k-m)与微分方程经典解类似，y(k)=yh(k)+yp(k)1.齐次解yh(k)齐次方程y(k)+an-1y(k-1)+…+a0y(k-n)=0其特征方程为λn+an-1λn–1+…+a1λ+a0=0(3.1-15)其根λi(i=1，2，…，n)称为差分方程的特征根。齐次解的形式取决于特征根。当特征根λ为单根时，齐次解yh(k)形式为：Cλk当特征根λ为r重根时，齐次解yh(k)形式为：(Cr-1kr-1+Cr-2kr-2+…+C1k+C0)λk5.1LTI离散系统的响应2.特解yp(k):特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）。（1）激励f(k)=km(m≥0）①所有特征根均不等于1时;yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0②有r重等于1的特征根时;yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0]（2）激励f(k)=ak①当a不等于特征根时;yp(k)=Pak②当a是r重特征根时;yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk)且所有特征根均不等于e±jβ；yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk)例：若描述某系统的差分方程为y(k)+4y(k–1)+4y(k–2)=f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)=–1；激励f(k)=2k，k≥0。求方程的全解。解：特征方程为λ2+4λ+4=0可解得特征根λ1=λ2=–2，其齐次解yh(k)=(C1k+C2)(–2)k特解为yp(k)=P(2)k,k≥0代入差分方程得P(2)k+4P(2)k–1+4P(2)k–2=f(k)=2k，解得P=1/4所以得特解：yp(k)=2k–2,k≥0故全解为y(k)=yh+yp=(C1k+C2)(–2)k+2k–2,k≥0将初始条件代入上式解得C1=1,C2=–1/45.1LTI离散系统的响应5.1LTI离散系统的响应三、零输入响应和零状态响应y(k)=yx(k)+yf(k),也可以分别用经典法求解。y(j)=yx(j)+yf(j),j=0,1,2,…,n–1设激励f(k)在k=0时接入系统，通常以y(–1),y(–2),…，y(–n)描述系统的初始状态。yf(–