2010—2011学年度第一学期中学高三年级数学试题（2010.11理科）考生注意：1．本试卷，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟。2．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷的指定位置。3．作答各题时，必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在试卷的指定位置，在其它位置作答一律无效。4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1、若集合，集合，则集合___▲___．2、的值为___▲___．3、存在实数，使得成立，则的取值范围是___▲___．4、已知向量，，若与垂直，则___▲___．5、△中，三内角、、所对边的长分别为、、，已知，不等式的解集为，则___▲___．6、已知函数和的图象的对称中心完全相同，若，则的取值范围是___▲___．7、若函数，点在曲线上运动，作轴，垂足为，则△（为坐标原点）的周长的最小值为___▲___．8、已知，则的值为___▲___．9、△中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边.如果a、b、c成等差数列，，△的面积为，那么___▲___．10、如果函数在区间上是“凸函数”，则对于区间内任意的，有成立.已知函数在区间上是“凸函数”，则在△中，的最大值是___▲___．11、已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为___▲___．12、设函数，且，表示不超过实数的最大整数，则函数的值域是___▲___．13、如图放置的边长为的正三角形沿的纵坐标与横坐标的函数关系式是，记的最小正周期为；在其两个相邻零点间的图象与轴所围区域的面积记为，则___▲___．14、如果关于的方程在区间上有且仅有一个解，那么实数的取值范围为___▲___．二、解答题：本大题共六小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15、（本题满分14分）已知向量，，定义函数.（1）求的最小正周期；（2）若△的三边长成等比数列，且，求边所对角以及的大小．16、（本题满分14分）在△中，，．（1）求；（2）设，当△的面积为时，求的值．17、（本题满分14分）如图，在半径为、圆心角为的扇形的弧上任取一点，作扇形的内接矩形，使点在上，点在上，设矩形的面积为,POABQMN按下列要求写出函数的关系式：设，将表示成的函数关系式；设，将表示成的函数关系式；请你选用（1）中的一个函数关系式，求出的最大值．18、（本题满分16分）函数，()，集合，（1）求集合；（2）如果，对任意时，恒成立，求实数的范围；（3）如果，当“对任意恒成立”与“在内必有解”同时成立时，求的最大值．19、（本题满分16分）函数．（1）试求的单调区间；（2）当时，求证：函数的图像存在唯一零点的充要条件是；（3）求证：不等式对于恒成立．20、（本题满分16分）对任意,给定区间,设函数表示实数与的给定区间内整数之差的绝对值．[来源（1）当时，求出的解析式；当时，写出用绝对值符号表示的的解析式；（2）求的值，判断函数的奇偶性，并证明你的结论；（3）当时，求方程的实根．（要求说明理由）2010—2011学年度第一学期中学高三年级数学试题参考答案(2010.11.理科)一、填空题：二、解答题15、解：(1)f(x)＝p·q＝(sinx，eq\r(3)cosx)·(cosx，cosx)＝sinxcosx＋eq\r(3)cos2x………………2分＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\r(3)·eq\f(1＋cos2x,2)＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x＋eq\f(\r(3),2)＝sin(2x＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2).………………………………………………………………………………4分∴f(x)的最小正周期为T＝eq\f(2π,2)＝π.………………………………………………………………6分(2)∵a、b、c成等比数列，∴b2＝ac，………………………………………………………7分又c2＋ac－a2＝bc.∴cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(ac＋c2－a2,2bc)＝eq\f(bc,2bc)＝eq\f(1,2).…………………………………………………10分又∵