毕业班解决方案模块课程初三数学.几何模块突破数.角平分拔高.教师版PagePAGE\*Arabic\*MERGEFORMAT16ofNUMPAGES\*Arabic\*MERGEFORMAT162014年中考解决方案角平分线辅助线拔高学生姓名：×××上课时间：2013.××.××角平分线辅助线拔高自检自查必考点知识点一角平分线性质（1）角平分线上的点到角的两边的距离相等；（2）到角的两边距离相等的点在角的平分线上．（3）天然的轴对称模型，三线合一模型知识点二角平分线辅助线秘籍一：往角两边作垂线解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等秘籍二：往角两边截取相等的线段解读：在角两边截取相等的线段，这也是角平分线常用的辅助线，常用于解决线段和差问题秘籍三：过角平分线上的点作垂线解读：过角平分线上的点作垂线，常用于构造三线合一，构造等腰三角形秘籍四：过角平分线上的点作角一边的平行线解读：可以构造等腰三角形，可以记作口诀：“角平分线+平行线，等角三角形现。总结：往角两边作垂线或平行线、及截取等线段，或用四点共圆知识点三角平分线模型模型一两角平分线相交模型解读：这些是三角形角平分线的经典题型，必须让学生掌握这些证明过程类型一：在中，如图1，为和的角平分线，与为推理方法：如图①，可得，，化简可得类型二：如图2，为和的角平分线，求与之间的关系为推理方法：如图②，可得，，化简可得类型三：如图3，为和的角平分线，则与之间的关系为推理方法：如图③，，，化简可得模型二对角互补模型条件：①，②∠AOB+∠DCE=180结论：①②③难度较大，记得经常复习（庆功独家提供，见几何小秘籍）中考满分必做题在中，平分，，为垂足，为的中点，求证：．【答案】延长交于，则得，所以为中点，所以，所以含有角平分线的题目，常以角平分线为对称轴作出全等三角形．【练1】如图所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．【答案】题目中有角平分线和垂直的条件，因此可以考虑将图形补成等腰，之后再证明是的中位线即可．如图所示，延长、相交于点，在和中，，，，故，从而，．而，故是的中位线，从而．【练2】如图，已知在中，，，．求证：．【答案】延长交于．∵，∴，，∴，又∵，∴∴∴∴．【练3】如图，在中，，、分别是、的平分线，，．求证：．【答案】如图，作，交于，交于．∵为等腰三角形，且平分∴为中点，且∵平分，且∴为等腰三角形，且为的中点又∵∴，且为中点，即可以发现四边形为矩形，于是∴在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．【答案】延长交的延长线于，过作交于，容易证得，且为之中点，故易得．【练1】如图所示，在中，是的平分线，是的中点，且交的延长线于，，求证．【答案】如图所示，延长到，使，连接、．因为，故，则．因为，故．因为，，故．因为，故．因为平分，故．在和中，，，，故，从而，因此．【点评】实质上，本题还是利用了“见到角平分线，考虑对称图形”的思想．【练2】如图，在中，是角平分线，，垂足为．求证：．【答案】如图，延长交于于．因为，，，所以．于是．因为，所以．【练3】如图，已知，，，．求证：．【答案】解法一：如图，取的中点，连接、．∵，，∴．∵，，公共，∴．∴．∴．解法二：如图，延长到，使，．∵，，公共，∴，．∵，∴，∴是等腰三角形底边上的中线，∴．解法四：如图，取、的中点、，连接、，∴，故．∵，∴，∴，∴．∵，，∴．而，公共，∴．∴，，∴是直角三角形．∴．如图，在中，，的平分线交于，过作，垂足为，求证：．【答案】解法一（角分线加中位线）：如图，延长、交于．∵，，∴，．过作，交于，则，，．∴，∴．解法二（角分线加中位线）：如图，延长、交于，过作交于．∵，，∴，．故有．∵，∴．∵，∴．解法三（直角三角形斜边中线）：如图，取的中点，连接交于，则是斜边上的中线．∴，．∴．故，，，有，故是的重心．∴为的中线，故．解法四（角平分线定理与面积比例）：如图，延长、交于．∵，，∴．∴．而，∴．∵平分，∴，，∴．故，∴．【练1】是的角平分线，交的延长线于，交于．求证：．【答案】由“角平分线+垂直”联想到等腰三角形的“三线合一”，故恢复等腰三角形．延长交的延长线于点，易证得，所以为的中点，又，所以为的中位线，