一忍获学救攀年第期数独问题初探华东师范大学数学系学生杜琦孔银飞罗程宏年我们三人组队参加了第届美国回顾数模竞赛并获得了一等奖一点点摸索接近目标的参赛经历我们体验到,,,运用数学成功解决问题的喜悦此次比赛也有少数高中生参赛这样的活动对于培养选手学习,能力和解决问题能力是非常有帮助的本次比赛共有两个间题供选择其中题为建立一个算法构造一个难度任意变化的数独拼图游戏并定义难度尺度你们设计的算法应该至少有个难度水平且每个拼图游戏结果唯一分析你们算法的复杂度希望你们用最小的算法复杂度来实现以上的要求,圈团图团图回图国团回团固国图图图图团回固图图团固国图回团图团图圈图图国回固圈团回团口团回国图回回图国团图团圈图囚团团回团国因困团困团固回团回图回团回回口圈回囚团团图,口口口口口口口口口口口口团回图口团国口图口团口团团口匡口口口口口团国口口图围口口团回口国回口口口口围「团口国口国巨团围团口团围国口日口日口口口口口口口口口图,,完整数独数据库即由大量按数独规则全部填好的方格库我们制造完整数独数据库的方法大致如下,数独是一种智力游戏它要求在事先给定部,将方格按图划分为一区域分数字的九个九宫格中填入到的数字让每个数字在每个行列及九宫格里都只出现一次我们的主要任务在于建立数独题库并给出区分难度的算法事实上整个题可以分解为下面三个小间题,,,,,怎样得到庞大的数独题库怎样保证得到题目解的唯一性怎样对所得到的题目难度进行分类这三个间题解决了再对它们加以适当地整,口口口口口口口口口口圃日日网门口同口口口口口口口口口口口口口口门门门门口口圃口口画口口国口口口口口口口口口口口口口口口口口门口口圃口口画口日网口口口口口口口口口口图按图给定'甲七了代十伙图占几合和解释就可以成为题的完整解答了以下就是我们解决这些间题的流程图,延拓强力搜索法初等变换候选数法图论方法通过穷举将,延拓至,方格并保证,,,让一怎样得到庞大的数独题库,一中的数字在任意行,,,列及九宫格里都只,出现一次如,块中最上一行取,块直观而自然的想法是先构造按数独规则全方格图即为一例然后恰当地部填好的,中最上一行则取穷举出的某一种组合图所示便是计算机隐去其中部分数字使所得题目有且仅有唯一解便可得到一个数独谜题如图所示我们称全部填好的方格为完整数独那,,,团国回四国圃四国画团同团口网团回冈团口回回回回回回囚回图么建立数独题库的问题就转化为先建立一个,年第期对已填充好的救学救学方格进行初等行列变,一忍,和图论方法解决数独谜题其中换即任意交换两行或两列及数字之前的轮换,,候选数法又包含九种方法唯一数法,如将所有变为,变为等等如图,其对法四链数法隐含唯一数法数对法,,余空格以此类推,隐含数画国回团国回国困回团回回画国回团困同图固国圆困回团口回图国团回困回图团回团国回回国回图回国口国回回国回团图国图图三链数法升等下面分别举例简要说明前三种候选数法和图论方法这样就可得到庞大的完整数独数据库对于上述过程将每个完整数独看成一个矩阵再对该矩阵进行枚举和行列变换运算对,,,于计算机而言是非常简单的至此再恰当地隐去完整数独中部分数字,,使得所得题目有且仅有唯一解便可得到一个数独谜题但为了便于计算机操作我们采用下述,,门门门团门冈冈门门团门门曰阔冈门国口口口口口口口口团门问门阔门门门门门冈口曰门门门冈图国口国口团团口口口口口回口口口口口口口口口因口回团国口口口图国口口图的填空法建立数独题库即依照某一完整数独恰,当地在一空白,方格中填入部分数字,任意从数独数据库中取一定义为终结数独不妨以图为例圈团团团图回国围国回团围围团国图国团国困团团团围团团回团图团回围图团国国国国国国团团团团图图国团图国团圈团围图围国团回团国国团团团团围国国回图国国回国团团图围团团图如图所示已填上的数字有个并且在每个待填的空格中都对应一个候选数列以它的同列中为例在它的同行中有数字它的同九宫格中有数字从有数字,,,,,,,,,,,,,而能够填入,的数字仅有,,,,以此类推可得到各个空格对应的候选数列如图,所示,.会一.'..多.名下君二峨.会会言,,.七...名国.二