计算机图形学简明教程综述主要章节4.1节变换的数学基础4.1.1点和距离4.1.2矢量4.1.2矢量-矢量和、数乘(3)矢量的模设三维空间的一组基如：矢量u可表示为：矢量的模指矢量的长度定义为：(4)单位矢量设u的单位矢量为则：4.1.3矩阵－矩阵定义和加法（2）矩阵的数乘是指任意的实数k与A的每个元素相乘,即（3）矩阵的乘法矩阵A的列数和矩阵B的行数相同时可以相乘.设A为m*n矩阵,B为n*p矩阵,c为乘积矩阵,则c为m*p阶阵.（6）矩阵的逆对于n阶矩A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=In,则B为A的逆矩阵，记作B=A-1.定理：矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不为0。例如：4.2图形显示中的基本概念计算机处理图形的过程模型坐标系：为了方便建立图形的数字模型，常常根据它的几何形状选择坐标系，因此在图形的处理过程中，每个图形模型都有自己的坐标系，这个坐标系称为模型坐标系或局部坐标系世界坐标系：一个图形场景往往有多个图形组成，为了描述它们之间的关系，需要把它们置于一个统一的坐标系中，该坐标系称为世界坐标系。2、图形操作：平移、放缩或旋转等变换。三维空间中的对象要在二维的屏幕上表示出来，需要进行投影变换。等等视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形区域。一般是一个四棱台或四棱柱。3、图形输出：计算机对数量化的显示图形在图形显示器上绘制，也就是把投影平面中的投影图形输出在输出设备上，需要在输出设备上建立一个坐标系。设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系，输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐标系。有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标范围限定在区间{x,y,z|0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1}内，称为标准化设备坐标系近平面4.3几何变换模型变换说明4.3.1基本变换－放大和缩小以图形中心为中心的缩放以图形中心为中心的缩放这样做的综合效果是图形以(xp,yp,zp)为中心作了缩放变换.同理：绕y和x轴的旋转变换公式分别为绕过原点的轴旋转绕空间任一通过坐标原点的轴,做旋转变换，需给出这根轴的方向(Ax,Ay,Az)。首先建立一个新的坐标系Ouvw,Ow轴的指向和（Ax,Ay,Az)的指向一致.两个坐标系间的变换关系坐标系变换公式由式(4.4),式(4.5)和式(4.6)可得变换公式为设矩形OABC沿x轴（称为方向轴）方向切变，y轴称为依赖轴。切变的程度由参数S=tgα决定4.3.2齐次坐标与变换的矩阵表示图形模式在图形模式下如按下列流程1)至5)绘图：1）绘制矩形;2）绕z轴旋转30°;3）绘制矩形;4）沿x轴平移距离2;5）绘制矩形;在图形模式下如按下列流程1)至5)绘图：1)绘制矩形;2)沿x轴平移距离2;3)绘制矩形;4)绕z轴旋转30；5)绘制矩形;4.4裁剪裁剪的概念裁剪窗口：矩形，凸多边形，任意多边形等视见体:棱台、立方体裁剪对象：直线段、多边形、文字等裁剪方法:直线的裁剪方法:Sutherland-Cohen算法,Cyrus-Beck算法,梁友栋-Barsky算法多边形的裁剪方法:Sutherland-Hodgman算法三维的裁剪方法:Sutherland-Cohen算法,梁友栋-Barsky算法在x=xL左侧的区域,编码的第一位是1；在x=xR右侧的区域,编码的第二位是1；在y=yB下侧的区域,编码的第三位是1；在y=yT上侧的区域,编码的第四位是1。线段KL为例，从K点(1001)的编码分析出K在x=xL的左侧，KL必和x=xL有交点，求出其交点M，KM显然是完全不可见的，因而只要对ML从第一步开始重复上述处理步骤。由于ML还是不能用第一步下结论，又从M的编码发现M在y=yT的上侧，因而要求ML和y=yT的交点N。丢掉MN，对NL用第一步的方法可断定NL为完全可见，至此裁剪结束。程序代码4.4.2Cyrus-Beck算法和梁友栋–Barsky算法线段上的点和多边形的关系:现假设多边形有k条边，在每条边上取1个点Ai和该点处的内法向量Ni（i=1,2,…,k），则可见线段的参数区间为下列不等式组的解上式解的几何意义很明显。把分为两组：起点组和终点组。终点组:起点组:特殊情况：算法的程序当凸多边形是矩形窗口，且矩形的边平行于坐标轴时，上述算法可简化为梁友栋-Barsky[LIANG84]算法。对于窗口的每条边，表4.1列出了其内法向量，该边上一点,从指向线段起点P1的向量，以及线段与该边(或延长线)的交点参数。由于每条边上法向量只有一个非零分量,所以任意一个向量与法向