导入新课双曲几何的庞加莱单位圆盘模型教学目标通过比较，了解平面几何与球面几何的异同点．进一步了解庞加莱模型在实际生活中的应用．球面几何与平面几何的比较．非欧几何的概念和意义．庞加莱模型．一平面几何与球面几何的比较为什么会出现不同？我们把两条不想交的直线称为平行线，上述结论最早出现在欧几里得所著的《原本》中，所以我们把上述结论称为欧氏平行公理．在欧氏平行公理成立的条件下，推导出来的所有定理及其他结果所组成的几何体系成为欧氏几何．球面上的大圆可视为“直线”．在球面上有这样一个结论：任意两条“直线”（大圆）都相交，即过“直线”外一点，没有一条“直线”与该“直线”不相交．也就是说，对球面上的大圆而言，欧氏平行公理是不成立的．于是，在球面上产生了一些与欧氏平面几何完全不同的定理．在欧氏平行公理不成立的条件下，推导出来的所有定理与其结果所组成的几何体系，称为非欧几何．二欧氏平行公理与非欧几何模型——庞加莱模型那么，为什么把大圆作为“直线”呢？现在我们来分析一下欧氏平行公理：“过直线外一点，有且只有一条直线与该直线不相交．”在平面上欧氏平行公理是不证自明的．因为这个结论没有加以证明，所以我们当然可以怀疑它是否正确．在球面上，如果我们把大圆作为“直线”，那么这个结论就不正确．这是一种怀疑方式，即“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”．我们还可以用另一种方式来怀疑它，即“过直线外一点，不只一条直线与该直线不相交”．我们把这样改变后的结论称为非欧（双曲）平行公理．有双曲平行公理成立的情况下，推导出来的所有定理所组成的几何体系称为双曲几何．那么是否在某个特殊的“平面”上，可以把某种曲线叫作“直线”，此时，非欧平行公理是成立的，这个“平面”可作为非欧几何模型．下面，我们给出法国数学家庞加莱建立的满足非欧平行公理的一种几何模型．在欧氏平面上做一条直线x，以x为边缘的上半平面（不包含x上的点）记为（图8-1），现在考虑内部的点，我们规定内部的点为“非欧点”，圆心在x上的半圆或垂直于x的射线称为“非欧直线”．那么，在内、圆心在x上的一段圆弧，或垂直于x的射线上的一条线段是“非欧线段”，两条“非欧直线”的夹角是“非欧角”．设l为内垂直于x的射线，或者圆心在x上的半圆，点A为l外的一点，则过点A必可作两个半圆（或一射线、一半圆），其圆心在x上，且与l相切（显然，切点在x上，而x上的点都不在内），那么经过点A就有两条“非欧直线”与l都不相交，所以在内非欧平行公理是成立的．当然，在中我们还需要说明两段“非欧线段”相等（或说合同）的概念、两个“非欧角”相等的概念等，这就要涉及其他的数学知这就要涉及其他的数学知识．这里就不再介绍了．把“过直线外一点，没有一条直线与该直线不相交”作为公理推导出的几何称为椭圆几何．欧氏几何当然，这三种几何也有相同的地方：1.三角形中两边之和大于第三边；2.若两个三角形的三对边对应相等，则两个三角形全等．三欧氏几何与非欧几何的意义首先，判断一种几何是否正确的标准是什么？1.这种几何在理论上是否成立，这是本质上的逻辑问题；2.这种几何在实际中是否成立，能否刻画我们生活的物理世界．数学家用间接的方法，在欧氏几何中建立了一个非欧几何的模型，在这个模型中，规定了一些（非欧）基本概念后，全部的推理都是依照欧氏几何所遵循的逻辑进行的，因此这个模型是欧氏几何与非欧几何的一个“桥梁”．非欧几何的结论通过模型又可解释为欧氏几何中的一个结论，这样一来，如果非欧几何是矛盾的，那么，欧氏几何在逻辑上也是矛盾的，因此，庞加莱模型告诉我们，如果欧氏几何是无矛盾的，那么非欧几何也是无矛盾的．爱因斯坦认为，时间和空间是不可分的，物理空间十分复杂，无论欧氏几何或非欧几何都不能全面、精确的解释物理的时空概念，但他们都是物理空间，对物理空间在不同方面有很好的近似．因此，两者对于我们的世界有重要的物理意义．课堂小结