北京大学2024年“物理卓越计划”选拔考试数学试题解答1113101.【解析】：10(++)=9≤10⋅；所以x≤，故x=2或3.xyzx3111110若x=2，则10(+)=4；5(+)=2≤，所以y≤5，故y=3,4,5.yzyzy当y=3时，z=15；20当y=4时，z=∉z（舍）；3当y=5时，z=5；故(x,y,z)=(2,3,15)或(2,5,5).11172060若x=3，则10(+)=≤，所以y≤，故y=2,3.yz3y1730当y=3时，z=∉z（舍）；7而y=2<3=x.综上，原方程所有解为(2,3,15)或(2,5,5).2.3.【解析】：令n=m+11∴a=(a+a)−12m+122m2m+1a−a=a−a+22m+22m+12m+12m记b=a−a,k∈N*，∴b=b+2.①kkk−12m+22m+1令n=m+21∴a=(a+a)−42m+222m2m+4∴a−a=a−a+82m+42m+22m+22m∴2b+2=2b−2+82m+32m+2故2b=b+2.②2m+32m+2由①、②知：b−b=2kk−1{b}是以2为公差的等差数列.kb=0，∴b=2k−21k2023(0+4044)×2023a=a+∑b=11+=2023×2022+11=4090517.20230i2i=14.5.【解析】如图，正方形ABCD的边长为1，不失一般性假设∆EFG是其满足条件的内接正三角形，边长为a，过EF的中点M作MN⊥AB垂足为N，连MA、MG、MN、MB，又设∠AEG=α，∴∠AEM=60+α∴∠AGE=90−α∴∠MGB=60+α=∠AEM∴点A、E、M、G四点共圆，同理点B、G、M、F，∴∠MEG=∠MAB=60∴∠MFG=∠MBA=60∴点EF必过M点，∴∆AMB是边长为1的等边三角形，333∴MN=,∴当G点与N重合时，(MG)=，∴(S)=S=.2min2∆EFGmin∆MAB4EG≤DG,∴当且仅当E点与D点重合时，EG最大，此时α=15.3∴(EG)=6−2,∴(S)=(6−2)2=23−3，max∆EGFmax43所以所求内接正三角形的最大面积与最小面积分别为23−3、.46.【解析】：设共有n(n∈N*且n>3)名选手，除去这3名，还剩下(n−3)名选手.设这3名选手之间比了x场比赛（x=0,1或2）.(n−4)(n−3)除去这3名选手的比赛，剩余人共比赛了场.2(n−4)(n−3)（1）x=0时，+6=50⇒n2−7n−76=0⇒n∉N*，不符合；2(n−4)(n−3)（2）x=1时，+1+1+3=50⇒n2−7n−78=0⇒n=13或−6；2由于，n∈N*且n>3，故n=13符合；(n−4)(n−3)（3）x=2时，+1+1+1+1=50⇒n2−7n−80=0⇒n∉N*，不符合；2所以，x=1时，满足条件，故退出的3名选手之间比赛了1场。7.8.【答案】：2080个9.【解析】：3232−632+610.【解析】：以AB为x轴正反向建立平面直角坐标系，所以得出B(,0),D(,)24410C为以B为圆心，半径等于的圆与以B为圆心，半径等于1的圆的交点，存在两个C.2∴CC⊥BD，而KBD=−1,∴KCC=11212设C点坐标为(x,y)32−632+6(x−)2+(y−)2=144x=y∴化简得：325x2+y2=32x−2(x−)2+y2=222x=x=22∴或y=22y=232−632+6+x+y4432所以，CD中点为(,)，AB中点为(,0)，22432+x32−632+62yAD中点为(,)，CB中点为(+,)8822132+6132+632−632+6所以d=(x−)2+(y+)2=d中点为(,)1444428832+632+66+33所以d+d=(x−)2+(y+)2=2x2+1244233+1则当x=2时，d+d=；122216+63当x=时，d+d=；212233+116+63综上，对边中点距离之和为或。22