2016年北京大学全国优秀中学生暑期学堂数学试题文科生做前5题，理科生做后5题，每题20分．1．设关于x的方程sin2x+cosx+a=0在实数范围内有解，求实数a的取值范围．2．设a,b,c均为正数且a,b,c成等差数列，判断，，是否成等差数列，并说明理由．3．设a,b,c为实数，证明：对任意实数x都有(x−a)2+(x−b)2⩾c当且仅当(a−b)2⩾2c．4．已知复数z1,z2满足z1与z1+z2有相同的模且，其中a为非零实数，求的值．5．一条直线与双曲线交于A,B两点，与此双曲线的渐近线交于C,D两点，证明：线段AC与BD的长度相等．6．设α,β均为锐角，满足sin2α+sin2β=sin(α+β)，求α+β的值．7．已知△ABC的面积为1，D,E分别是边AB,AC上的点，F为线段DE上的一点，设AD:AB=x,AE:AC=y,DF:DE=z且y+z−x=1．求△BDF的面积的最大值并求出此时x,y,z的值．2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案1．题中方程有解即a=−sin2x−cosx有解，从而有2．由题意知b−a=c−b=(c−a)/2，所以从而得，，是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．4．由题意知：，化简得因为，所以，代入上面的式子得．于是有5．以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为x轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近线方程可以表示为其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有两式相减得同样有因为A,B,C,D四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD；当此直线的斜率k存在且不为零时，有即AB的中点与CD的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD．事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin2α+sin2β=sinαcosβ+cosαsinβ,整理得sinα(sinα−cosβ)=sinβ(cosα−sinβ).若α+β≠π/2，则有sinα−cosβ与cosα−sinβ同号．若它们同为正，则有sinα>cosβ=sin(π/2−β),cosα=sin(π/2−α)>sinβ,从而有α>π/2−β,π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．7．如图，连结BE：由三角形的面积公式S=absinC可以得到S△ADE=xyS△ABC=xy,S△BCE=(1−y)S△ABC=1−y,所以有S△BDE=1−xy−(1−y)=y(1−x).从而有当y=z=1−x时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF的面积有最大值8/27