2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷，选择题部分1至3页，非选择题部分4至5页。满分150分，考试时间120分钟。请考生按规定用笔将所在试题的答案涂、写在答题纸上。选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。1．设集合，集合，则A．B．C．D．2．已知是虚数单位，则A．B．C．D．3．设，则“”是“直线：与直线：平行”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．把函数的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是5．设，是两个非零向量A．若，则B．若，则C．若，则存在实数，使得D．若存在实数，使得，则6．若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有A．60种B．63种C．65种D．66种7．设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题错误的是A．若，则数列有最大项B．若数列有最大项，则C．若数列是递增数列，则对任意，均有D．若对任意，均有，则数列是递增数列8．如图，，分别是双曲线：的左、右两焦点，是虚轴的端点，直线与的两条渐近线分别交于，两点，线段的垂直平分线与轴交于点．若，则的离心率是A．B．C．D．9．设，A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则10．已知矩形，，．将沿矩形的对角线所在的直线进行翻折，在翻折过程中，A．存在某个位置，使得直线与直线垂直B．存在某个位置，使得直线与直线垂直C．存在某个位置，使得直线与直线垂直D．对任意位置，三对直线“与”，“与”，“与”均不垂直非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知某三棱锥的三视图（单位：）如图所示，则该三棱锥的体积等于．12．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是．13．设公比为的等比数列的前项和为．若，，则．14．若将函数表示为，其中，，，…，为实数，则．15．在中，是的中点，，，则．16．定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数．17．设，若时均有，则．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．（本题满分14分）在中，内角，，的对边分别为，，．已知，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求的面积．19．（本题满分14分）已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从箱中任取（无放回，且每球取道的机会均等）3个球，记随机变量为取出此3球所得分数之和．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望．20．（本题满分15分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，且平面，，，分别为，的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）过点作，垂足为点，求二面角的平面角的余弦值．21．（本题满分15分）如图，椭圆：的离心率为，其左焦点到点的距离为，不过原点的直线与相交于，两点，且线段被直线平分．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求面积取最大值时直线的方程．22．（本题满分14分）已知，，函数．（Ⅰ）证明：当时，（i）函数的最大值为；（ii）；（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题5分，满分50分。1．B2．D3．A4．A5．C6．D7．C8．B9．A10．B二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题4分，满分28分。11．112．13．14．1015．-1616．17．三、解答题：本题共小题，满分72分。18．本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等知识，同时考查运算求解能力。满分14分。（Ⅰ）因为，，得又所以（Ⅱ）由，得，，于是．由及正弦定理，得．设的面积为，则．19．本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念，同时考查抽象概括、运算求解能力和应用意识。满分14分。（Ⅰ）由题意得取3，4，5，6，且，，，．所以的分布列为3456（Ⅱ）由（Ⅰ）知．20．本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想像能力和运算求解能力。满分15分。（Ⅰ）因为，分别是，的中点，所以是的中位线，所以又因为平面，所以平面．（Ⅱ）方法一：连结交于，以为原点，，所在直线为，轴，建立空间直