第五章利用观察数据建立数学模型（数据拟合）题来源：实际问题中经常遇到以下情况：1、只知函数在一些点处的函数值或导数值，没有明确的解析式；2、知其解析式但很复杂。这样我们就要寻求某个较为简单的函数来逼近，即用作为的近似表达式.寻求简单函数过程通常有两大类方法：1、插值法；2、数据拟合。本节我们仅介绍拟合的方法。第一节问题的提出以及线性拟合一、数据拟合与最小二乘法数据拟合：为了获得便于应用的经验公式（不必要求），往往采用拟合的方法。所谓拟合是根据一组数据，即平面上的若干点，要求确定函数y=f(x)，使这些点与曲线总体来说尽量接近。这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fittingacurve)。数据拟合中最常用的方法就是最小二乘法，下面通过一个简单的例题进行说明．例1.1下面给出了悬挂不同重量的物体时弹簧的长度：（g）51015202530(cm)7.258.128.959.9010.9011.80讨论变量与之间的关系．为了研究弹簧的伸长量和悬挂的物体质量之间的关系，首先将表中各组数据在坐标平面内描出对应的点，得到的图通常被称为散点图．通过观察可以发现，这些点大致分布在一条直线上，因此就考虑利用直线(2.1.1)图2-1去描述与之间的关系，但是怎样确定系数、，才能使近似函数尽量反映所给数据点的变化趋势呢？一般采用的方法是确定、使所有的计算值和实测值之差，(2.1.2)（又称为偏差或残差）的平方之和最小，即使最小，这个方法称为最小二乘法.这时(2.1.1)称为最小二乘拟合一次多项式，称为偏差平方和.由微分学中求极值的方法可知，只需求关于、的一阶偏导数，并令其为零，可以得到、满足的方程组，(2.1.3)求解可得，可以证明，可以使取得最小值，这样直线方程就可以确定．注：问题：给定一批离散的数据点，需确定满足特定要求的曲线，从而获取整体的规律。即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。解决方案：若不要求曲线通过所有数据点，而是要求它反映对象整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合。从几何意义上看，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式的连续曲线来最大限度地逼近这些点。二、最小二乘原理的一般理论设给定的数据为，，设拟合曲线方程为，令，(2.2.1)最小二乘法就是求参量，，使最小，即求使．这时称为函数在点集上的最小二乘逼近．解决方法：由多元函数求极值的方法可得，.(2.2.2)（这个方程称为法方程或正规方程．）即求得，满足如何求得呢？我们采用下面的拟合函数，得到一般的求解公式：若拟合函数为其中，，…，线性无关，由公式(2.2.1)可得(2.2.3)由公式(2.2.2)可得.(2.2.4)如果引入记号，(2.2.5)则方程组可以表示为(2.2.6)即(2.2.7)这是一个系数矩阵为对称矩阵的线性方程组.可以证明:当函数，，…，线性无关时，方程存在唯一解，，并且相应拟合函数为这就是满足条件的最小二乘解.综上分析，求最小二乘法的步骤可以归纳为：先通过所给数据画出散点图，并根据散点图确定经验公式的函数类型（有时可以有多种选择）；再建立法方程，并通过解法方程求得最小二乘解的对应参数.第二节代数多项式拟合f=a1+a2x+a3x2++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bxf=a1+a2x已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢？可以根据散点图进行直观判断，在此基础上，选择几种曲线分别作拟合，然后比较哪条曲线的最小二乘指标最小。一、代数多项式拟合作为数据拟合的一种常见情况，若讨论的是代数多项式，即这时只需取即可，由公式(2.2.7)可知相应的法方程为(2.2.8)其中符号“”是“”的简写.例2.2已知某种半成品在生产过程中的废品率(%)与它的某种化学成分(0.01%)有关，下表中记录了与的相应的实测值，试用最小二乘法建立与之间的经验公式./0.01%3436373839393940/%1.301.000.730.900.810.700.600.50/0.01%4041424343454748/%0.440.560.300.420.350.400.410.60解根据前面的讨论，解题的过程如下:(1)确定拟合曲线的形式.根据散点图3-2可以考虑采用二次多项式进行拟合，设拟合曲线为.(2)建立法方程组.利用公式(3.2.7)计算可得所以法方程为图3-2求解可得，所以所求经验公式为.第三节可线性