东山中学2013届高三下学期入学摸底考试理科数学试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，满分40分。）1．已知集合，，则A．B．C．D．2．已知，，则是的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．函数的零点所在区间为A．B．C．D．4．设变量、满足约束条件：，则的最大值为A．10B．8C．6D．45．已知，则A．B．C．D．6．已知函数，则A．B．C．D．7.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且有两位女生相邻,则不同排法的种数是A．360B．288C．216D．968．在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩，，，则直线与圆的位置关系是A．相离B．相交C．相离或相切D．相交或相切第Ⅱ卷（非选择题共110分）二．填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答．9．复数（）,且，则的值为10．若向量、满足，与的夹角为，则11.按如图所示的程序框图运算．若输入，则输出12．一个几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面保积为13．如果在一次试验中，某事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件发生偶数次的概率为14．（坐标系与参数方程选做题）曲线：（为参数）上的点到曲线：（为参数）上的点的最短距离为15．（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于⊙，点在的延长线上，是⊙的切线，若，，则的长为．三．解答题（共6小题，满分80分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.(本小题满分12分)已知函数（，，），的部分图像如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为（1）求的最小正周期及的值；（2）若点的坐标为，，求的面积17．（本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为、、…、，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.（1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：353385563463475348538343447567该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望。18、（本小题满分14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，，，平面，，，（1）求直线与平面所成的角；（2）设点在棱上，，若平面，求的值.19.（本小题满分14分）己知斜率为的直线与双曲线（，），相交于参考答案一、选择题：（本大题共8小题；每小题5分，满分40分。）BACBCBBD二．填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。9．；10．；11．；12．；13．；14．1；15．；三．解答题（共6小题，满分80分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、解：（1）由题意得，因为在的图象上所以又因为，所以………………6分（2）设点的坐标为，由题意可知，得，所以连接，则，又因为，在中，，由余弦定理得解得又，所以……………12分17、解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件∴样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为………………6分（2）∵的可能取值为：1、2、4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得，，∴可得的分布列如右1240.50.30.2其数学期望(元)………………12分18、解1：（1）∵平面面∴平面平面过作交于过点作交于,∵平面平面∴面∴为直线与平面所成的角在中，，，∴，∴即直线与平面所成角为……………………6分（2）连结，∵，平面，平面∴平面又∵平面且∴平面平面∴又∵，，∴∴，即…………………14分解2：如图，在平面内过作直线，交于，分别以、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系.设，则、、、、（1）设面的法向量为∵、∴由得令可解得∴∵∴∴直线与平面所成的角，则∵∴即直线与平面所成的角为………………