1.4静电场边值问题•唯一性定理1、泊松方程与拉普拉斯方程2、静电场边值问题3、唯一性定理1.4.1泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：GG∇×=E0E=−∇ϕGGGG∇⋅=Dρ∇⋅E∇ε+εε⋅EE∇=−ε⋅=∇⋅∇ϕ=ρGGDE=εε=常数ρ2泊松方程222∇ϕ=−2∂∂∂ε2——拉普拉斯算子∇=++∇x∂2∂y2∂2z当ρ=0时∇2ϕ0=拉普拉斯方程•泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。例1.4.1列出求解区域的微分方程ρ∇2ϕ0=∇2ϕ=3−13ε23∇ϕ20=图1.4.1三个不同媒质区域的静电场1.4.2静电场的边值问题(boundaryvalueproblem)1、什么是静电场边值问题2、边值问题的研究方法边值问题微分方程边界条件ρ∇2ϕ=−场域分界面自然ε边界条件衔接条件边界条件∇2ϕ=0ϕ1=ϕ2参考点电位rϕ=∂ϕ1∂ϕ2lim有限值ε−ε=σ→r∞1n∂2∂n第一类第二类第三类边界条件边界条件边界条件已知场域边界已知场域边界一、二类边界条上各点电位值上各点电位件的线性组合，的法向导数即ϕ=f()sS1∂ϕ∂ϕ()()fs=f2()sϕ+β=3图1.4.2边值问题框图∂nS∂nS∂ϕ=f()s1为什么说第二类边界条件2∂nS与导体上给定电荷分布或边界是电力线的条件是等价的？2在静电场边值问题中，第一类齐次边界条件处电场强度的方向与边界是什么关系，第二类齐次边界条件处电场强度与边界成什么关系？3在平行平面场中，若边界的某一部分与一条电力线重合，问这部分的边界条件如何表示？积分法分离变量法解析法镜像法、电轴法保角变换法••••计算法有限差分法有限元法数值法边界元法边值问题矩量法研究方法实测法模拟电荷法实验法••••模拟法数学模拟法物理模拟法定性作图法••••定量图1.4.3边值问题研究方法框图例1.4.2图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为ε，并且在两导体之间接有电源U0，试写出该电缆中静电场的边值问题。解：根据场分布对称性，确定场域。图1.4.4缆心为正方形的同轴电缆横截面∂ϕ2∂2ϕ∇2ϕ=+=0（阴影区域x∂2∂y2xb0ybyb0xbϕ=(,≤≤及=,)≤=≤U02220xϕ(+y=a,,)x≤0y≥=0∂ϕ=0∂xx(,)=0b≤y≤a∂ϕ=0∂yy(,)=0b≤x≤a对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积G分常数，得到电位的解；再由E=−∇ϕ得到电场强度的分布。例：平板空气电容器中有体密度为ρ的电荷均匀分布，已知两板间电压U0，求电场强度和电位的分布1.4.3唯一性定理1、唯一性定理在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或拉普拉斯方程）的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理（Uniquenesstheorem)证明：略2.唯一性定理的重要意义•唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。•可判断静电场问题的解的正确性：例1.4.1图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？UAx、ϕ=021dUBxU、ϕ=+020d图1.4.7平板电容器外加电源UU0CxU、ϕ=−+030d答案：（C）作业P291-4-2