几种常见的圆系及其应用湖北省黄梅县第一中学王卫华435500黄冈骨干高级教师HYPERLINK"mailto:wwhhmyz@sina.com"wwhhmyz@sina.com0713-3835266在解析几何中，有关圆的问题频繁出现，具有某种共同性质的圆的集合叫做具有这一性质的圆系．利用圆系知识来求解有关问题，往往简捷明快，事半功倍．下面就几种常见圆系的一些情况来讨论．一．同心圆系例1．求与圆同心，且过点（，1）的圆的方程．解：所求圆与已知圆同心，可得方程又所求圆过点（），将此点坐标代入方程可得：则所求圆的方程为：．点评：凡是有相同圆心(a，b)的一切圆均可以写成以下形式：，其中(a，b)为定点(圆心)的坐标，r是圆的半径，可取任意正实数；与圆＋＋＋Ｆ＝０同心的圆系方程为：＋＋＋＝０．二．同半径动圆圆系例2．求证：不论m为何值，圆x2+y2-6mx-2(m-1)y+10m2-2m-24=0的圆心在同一直线上．证明：原方程配方，得(x-3m)2+[y-(m-1)]2=25，设圆心坐标为(u,v)，则，即为圆心轨迹参数方程，消去m，得u-3v-3=0，即圆心在同一直线上．点评：方程(x-a)2+(y-b)2=R2，当R为定值，点(a，b)为动点时，表示同半径动圆圆系．三．过直线与圆交点的圆系方程例3．求经过直线：2＋＋4＝０与圆Ｃ：＋2－4＋1＝０的交点且面积最小的圆的方程．解：设圆的方程为：＋2－4＋1＋（2＋＋4）＝０，即＋＋（1＋4）＝０，则，当＝时，最小，从而圆的面积最小，故所求圆的方程为：＋26－12＋37＝０．点评：过直线＋＋Ｃ＝０与圆＋＋＋Ｆ＝０交点的圆系方程为：＋＋＋Ｆ＋（＋＋Ｃ）＝０（Ｒ）．例4．已知圆与直线相交于P、Q两点，O是坐标原点，若，求实数的值．解：因为O是坐标原点且，则三点共圆，且此圆是以为直径的．这时已知直线就可以看成已知圆和以为直径的圆的公共弦所在的直线．设为以为直径的圆的方程，令，即，又，故又令（）同理得到由于已知圆不过原点，所以（）不成立，所以．点评：这是一道常规题，但它是一道典型的例子，因为它的解题思路自然，具有代表性，其中结论更具有一般性，对其它的解析几何题型也适用．但此题运用圆系求解问题别具一格．例5．已知动圆C：x2+y2-4ax+2ay+20a-20=0，aR，证明不论a取任何实数值，动圆C恒过一个定点解：将圆C：中的参数a分离出来，得(x2+y2-20)+a(2y-4x+20)=0由方程组,解得方程(x2+y2-20)+a(2y-4x+20)=0表示经过直线2y-4x+20=0与圆x2+y2-20=0的交点的圆系方程，故动圆C不论a取任何实数值恒过定点．点评：实际上曲线过定点问题均可以采用这类方法．例6．圆系＋2＋（4＋10）＋10＋20＝０（Ｒ，≠-１）中，任意两个圆的位置关系如何？解：圆系方程可化为：＋10＋20＋（2＋4＋10）＝０由上式可得：，即易知圆心（０，-５）到直线＋2＋5＝０的距离恰等于圆＝５的半径．故直线＋2＋5＝０与圆＝5相切，即上述方程组有且只有一个解，从而圆系方程所表示的任意两个圆有且只有一个公共点，故它们的关系是外切或内切．点评：此题实际上是分离参数法，分离参数法在很多题型中都适用，在圆系中也能奏效．分离参数后的特殊结构特征可将问题转化为直线与圆交点问题，也体现出了转化法在解题中的特殊功效．例7．求圆关于直线对称的曲线的方程．解：由于圆关于直线对称的图象是一个与原来的圆等半径的圆．可设所求圆的方程为：，即，∴又∵，∴，解之得：或．由于时即为已知圆，而的圆心(2，4)不在：上，故所求的曲线C不可能是从而舍去，所以，代入原方程整理可得：，即就是所要求的曲线的方程．点评：这个例题是圆和直线相交的情况，如果圆和直线相切或相离同样可以使用此法，用此法还可求点关于直线的对称点．四．过两圆交点的圆系方程例8．求经过两圆及的两个交点且半径最小的圆的方程．解法1：因所求圆经过两圆及的两个交点,故可设其方程为:，即：，设其半径为，则,故当时取最小值．故所求圆的方程为解法2：设圆和圆的两个交点为则直线的方程为:，即，由解法1可得所求圆的圆心为，∴,故所求圆的方程为点评：过两已知圆C1：f1（x，y）＝x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0．和C2：f2（x，y）＝x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1），若λ＝－1时，变为（D1－D2）x＋（E1－E2）y＋F1－F2＝0，其中两圆相交时，此直线表示为公共弦所在直线，当两圆相切时，此直线为两圆的