2005年第27期○高教研究从拉格朗日中值定理的证明说起罗智囊(重庆工学院商贸信息学院,重庆400051)摘要:本文从教学这一角度出发,介绍一种f(b)-f(a)点ξ,使f′(ξ)=成立。构造辅助函数证明拉格朗日中值定理的方法,分析b-a了辅助函数的产生,列举了一些相关问题,并以此得到构造辅助函数的启示。关键词:拉格朗日中值定理辅助函数一、引言中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日中值定理图1图2和柯西中值定理)是《高等数学》中的一个重要章节。中值定理建立了函数与导数之间的联系,它们使微积分建立在严密而坚实的基础上,构成微积分学优美的基本理论,而且是利用导数研究函数的性质和状态的理论基础①由于罗尔定理条件的。图3限制,它的用途不及拉氏中值定理,在证明拉格朗日中值定理时,每位数学工作者有不同的方法,比分析两个定理的条件,这里的关键就是(1)寻如说先证明柯西定理,再说明拉氏定理是它的一找一个函数φ(x)要与f(x)有关,且满足罗尔定理(这里个特例,用区间套定理来证明②,我们常使用的方主要是第三个条件:等量关系);(2)φ(x)应用罗尔定法是构造辅助函数,所涉及到的技巧有待定系数理,得出的相应结论。法、几何法等③。下面介绍一种笔者在教学中采用如何寻找这样的一个函数呢?如图所示:图1和的方法:图2分别是两个定理的示意图,在图1中,满足罗尔二、函数构造的分析及定理的证明定理条件的函数在弧上一定有一点C,它的切线平拉格朗日中值定理的证明途径是构造一个函行于直线,即所对应的,满足,其值为ABξf′(ξ)=KAB数满足罗尔定理,我们先写出两个定理:零。把图1中的函数图形旋转一个角度,得到图2。在罗尔定理:函数f(x)满足:(1)在[a,b]上连续;(2)这一变化过程中,有一个关系没有改变,那就是平在(a,b)内可导;(3)在区间两端点处函数值相等,即f行关系,所以仍然有,只不过此时f′(ξ)=KABKAB=(a)=f(b),则在(a,b)内至少存在一点ξ,使f′(ξ)=0成立。f(b)-f(a)f(b)-f(a),因此有式子f′(ξ)=成立。这就是拉拉格朗日中值定理:函数f(x)满足:(1)在[a,b]b-ab-a上连续;(2)在(a,b)内可导,则在(a,b)内至少存在一格朗日中值定理的结论。感的交流。教师的非语言行为是其心理的外化,体习、不断完善、不断创新。要充分运用教师语言艺现出教师的学识、品性、性格、素养。术,培养学生学习兴趣,引导学生主动学习,发挥学总之,语言是师生间传递信息的重要工具。语生的主体作用,提高教学效果。确实做到教书育人,言的素养培养是一个长期的任务,需要教师不断学不辱教师使命。73○高教研究2005年第27期这里仅从图形是直观得出的结论,还需要严格地不等式的证明一直是一个难点,利用高等数学证明。如前所述,需构造出φ(x)。通过作一条从原点出中的导数知识来处理,问题就简单得多。不过要用发,平行于f(x)的g(x)之后,再分别A、B点作x轴的垂线,导数,首先得设立一个函数,下面用例题来说明。得到一个平行四边形,从而得到一个等量关系,这一f(x)例3)设=1,且f″(x)>0,证明f(x)≥x。(1995关系与f(x)有关(如图3所示),可以得到如下证明。x证明:引进辅助函数y=φ(x)=f(x)-g(x)=f(x)-数学三考研题)f(b)-f(a)此题所给条件中暗含有很多条件,挖掘出这些x,φ(x)满足罗尔定理的三个条件:(1)在[a,b-a条件是解题的关键。b]上连续;(2)在(a,b)内可导;(3)φ(a)=φ(b)。这里前两证明:因为f(x)连续且具有一阶导数,所以由f(x)个条件显然满足,第三个条件证明如下:φ(a)-φ(b)=f=1知f(0)=0f(b)-f(a)f(b)-f(a)x(b)-b-[f(a)-a]=0f(x)-f(0)f(x)b-ab-a又f′(0)===1,x-0x∴!ξ∈(a,b),使得φ′(ξ)=0,这里φ′(x)=f′(x)-f(b)-f(a)令F(x)=f(x)-x,则F(0)=0,由于F′(x)=f′(x)-1,所以,b-aF′(0)=0f(b)-f(a)又由F″(x)=f″(x)>0,知F(0)是F(x)的极小值和F′(x)因此f′(ξ)=。得证。b-a单调,故F(x)只有驻点,从而F(0)是F(x)的最小值。因三、相关问题此F(x)≥F(0)=0,即f(x)≥x。构造辅助函数是高等数学中一种常用的方法,四、启示在很多地方,构造一个函数,利用函数的相关定理、通过定理的证明以及相关问题的分析解答,我们性质,问题就迎刃而解,下面列举一二: