Chapter3有限元分析的数学求解原理一般说来，求解方程的途径有两大类：1）直接针对原始方程进行求解2）间接针对原始方程进行求解直接解法——解析法：——根据问题的性质，确定基本未知量和相应的基本方程，并且假设一组满足全部基本方程的应力函数或位移函数。然后在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的物体，其表面将受什么样的面力作用或者将有什么样的位移。——对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状，受力特征和变形特点，或已知简单结论，如材料力学解，假设部分应力分量或者部分位移分量的函数形式为已知，由基本方程确定其他的未知量，然后根据边界条件确定未知函数中的待定系数。直接解法——有限差分法：有限差分格式间接解法——加权残值法：虚功原理定义：弹性体处于平衡状态，对于满足变形连续条件的虚位移及其虚应变，外力在虚位移上所做的虚功，等于真实应力分量在对应的虚应变上所做的虚功，即虚应变能。把一个物理学问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。如果建立了一个新的变分原理，它解除了原有的某问题变分原理的某些约束条件，就称为该问题的广义变分原理；如果解除了所有的约束条件，就称为无条件广义变分原理，或称为完全的广义变分原理。在当代，变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。在实际应用中，通常很少能求出精确的解析解，因此大多采用近似计算方法。1）假定2）将上式代入泛函，计算变分。3）由极值条件，算出待定常数，使之满足基本微分方程。4）把得到的常数代回，得到所求问题的解。本章主要内容3.1简明问题的解析求解——一维拉压杆问题讨论1若用材料力学的经验方法求解，则需先作平面假设，即假设应力为均匀分布σx=P/A由广义胡克定律得εx=P/EA右端的伸长量为Δu=εxl=Pl/EA有限元分析步骤-单元分析由虚功原理可以推得3.1简明问题的解析求解——平面梁问题平衡方程：x方向y方向物理方程：由广义虎克定律有整理得边界条件根据边界条件可以确定待定系数，将其进一步回代，可以得到用节点位移表示的梁单元位移。由虚功原理可以推得3.2弹性力学问题近似求解的加权残值法3.2.1梁弯曲问题近似求解的Galerkin加权残值法将试函数代入原始方程组，则必有残差，真实的c1,c2,c3…cn使得残值的积分为零，即其中w1,w2,w3…wn为权函数。以上为关于c1,c2,c3…cn的方程组，由上式可以求出他们，最后由线性组合形式的试函数得到真实的。如果将权函数w1,w2,w3…wn取为1,2,3…n，则该方法称作伽辽金法。受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解受均布外载荷简支梁的Galerkin加权残值法求解3.2.2梁弯曲问题近似求解的最小二乘法受均布外载荷简支梁的残值最小二乘法求解3.2.3一般弹性问题近似求解的加权残值法3.3弹性问题近似求解最小势能原理及其变分原理受均布外载荷简支梁的Rayleigh-Ritz法求解受均布外载荷简支梁的最小势能原理求解一般弹性问题的最小势能原理3.3.3最小势能原理的变分基础最小势能原理证明推导的过程实际上就是数学上的变分过程，所采用的方法叫做变分方法。（variationalmethod）。这里还是以受均步载荷作用下剪支梁的平面弯曲问题为例来证明，从特殊到一般的推导过程。该问题的原始提法为：假定有位移v（x），它满足剪支梁的控制方程：基本方程——偏微分方程的边值问题变分原理——偏微分方程的边值问题转换为代数方程有限元原理——数值分析方法工程应用广泛，理论基础——变分原理。为什么变分原理在工程上的应用有限，而有限元原理却应用广泛。有限元原理与经典变分原理的差别位移试函数有限元不是整体选取试函数而是在弹性体内分区（单元）完成的试函数形式简单统一近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得以有限元方法为代表的计算力学的迅速发展，改变了弹性力学理论在工程应用领域的处境。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。大型通用有限元程序的广泛应用，使得有限元成为结构分析工具。以此为基础，CAD,CAE等技术的应用使得计算机不仅成为数值分析的工具，而且成为设计分析的工具。