南京师大附中2022-2023学年度第2学期高二年级期中考试数学试卷（总分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.第I卷（选择题共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题绘出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的）1.已知向量，且//，则实数的值为（）A.或B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】根据空间向量平行的坐标表示分析运算.【详解】显然，若//，则，可得，解得.故选：D.2.已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意求得，设两平面所成的二面角为，求得，即可求解.【详解】由两平面的法向量分别为，，可得，设两平面所成的二面角为，其中，可得.即两平面所成的二面角的正弦值为.故选：B.3.如图，用4种不同的颜色给图中四块区域涂色，若相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据区域同色和不同色分类讨论即可得.【详解】区域同色的方法数为区域不同色的方法数为，总的方法数为．故选：C．4.将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧.则异面直线与所成的角的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以O为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出异面直线与所成的余弦值，即可得解.【详解】以O为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、.所以，，则，所以.因此，异面直线与所成的角为.故选：B.【点睛】本题考查利用空间向量法求解异面直线所成角的大小，考查计算能力，属于中等题.5.2023年五一假期，小明同学外出去某超市购物，获得了该超市的一次抽奖机会，小明需从9个外观完全相同的盲盒中，随机抽取3个，已知这9个盲盒中有3个盲盒各装有1支完全相同的钢笔，另外6个盲盒中各装有不同的1个小饰品，则拆开选取的3个盲盒后，小明收获奖品的所有情形的种类有（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分类讨论可得.【详解】由题意装有相同钢笔的3个盲盒抽取的个数分别为,因此小明收获奖品的所有情形的种类个数为.故选：C．6.如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，，则线段的长度为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空间向量的数量积求模即可.【详解】由图形易得，所以，即.故选：A7.已知函数若方程恰好有三个不等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】题意说明直线与曲线有三个交点，由时，它们一定有且只有一个交点，因此直线与有两个交点，求出它们相切时的值后可得结论．【详解】作出函数的图象（示意图），如图，作直线，时，是增函数，且，由图可知直线与始终有一个交点，即对任意值都有一个负根，由题意直线与有两个交点，设直线与曲线的切点为，的导函数为，由得，，所以，由图形知，即，故选：D．8.已知正方形的中心在坐标原点，四个顶点都在函数的图象上．若正方形唯一确定，则实数的值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】法一：设直线的方程为，则直线的方程为，讨论得到不合要求，即，分别联立曲线方程，得到，，再根据得到，换元后必有有两个相等的实数根，由，解得，检验后得到答案.法二：设出，表达出，代入曲线方程，得到，由基本不等式得到的范围，并结合题意得到实数的值.【详解】法一：因为四边形为正方形，为其中心，所以⊥于点，且，不妨设直线的方程为，则直线的方程为，设点，，则，当时，，在R上单调递增，与仅有1个交点为原点，不合题意，当时，联立直线与曲线方程，得到，解得，联立直线与曲线方程，得到，解得，因，所以，整理得，即，设，该函数在上单调递增，值域为R，要使符合题意的正方形只有1个，则必有有两个相等的实数根，即，解得，正根舍去，此时，解得，负根舍去，所以；法二：不妨设点第一象限，且四点逆时针排布，设，，则，由题意得两点存在曲线上，所以，由①得，由②得，联立两式得，因为，，故，，又，所以只有时，才能使得两式恒成立，故，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，由题意