一．L’Hospital法则（洛必达法则）o法则1设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域U(a,d)内有定义，且满足：()()(1)limfx=0及limgx=0；x®ax®ao(2)f(x)和g(x)在U(a,d)内可导，且g(x)0；f¢(x)(3)lim()=A（A为常数，或为∞）x®ag¢xfxf¢(x)则有lim=lim()=A。xagxx®agxo法则2设函数f(x)和g(x)在点a的某个去心邻域U(a,d)内有定义，且满足：(1)limgx；xao(2)f(x)和g(x)在U(a,d)内可导,且g(x)0；f¢(x)(3)lim()=A（A为常数，或为∞）x®ag¢xfxf¢(x)则有lim=lim()=Axagxx®ag¢x利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，x®a+，x®a-洛必达法则也成立。02.洛必达法则可处理，，0，1，0，00，型。003.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，0，1，0，00，型0定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。lnx0limxlnxlim化为型：=1(型)x®0+x®0+x1x0=lim(化为型，但无法求解)x®0+10lnxsinx-1cosx0-型：lim(tanx-secx)=lim=lim=0(通分后化为型)ppcosp-sin0x®x®xx®x222lncosx-sinx11limlim-01lim(cosx)ex®0x2ecosx×2xe2化为型型：x2==x®0=()x®0011lnx10sinlimsin×lnxlimlimlimxxe+xe+xe+x化为型型：=x®¥=x®¥=x®¥=1()x®+¥lnx1sinxlimlimlim-×tanx00sinx+x(-cscxcotx)limx=ex®0+cscxex®0=ex®0+x=1(化为型)型：x®0+x1变形举例:lim=lim-=-1(不变形求导无法求出)x®-¥+2x®-¥11x1+x2二．高考题处理1.(2010年全国新课标理)设函数f(x)ex1xax2。（1）若a0，求f(x)的单调区间；（2）若当x0时f(x)0，求a的取值范围原解：（1）a0时，f(x)ex1x，f'(x)ex1.当x(,0)时，f'(x)0；当x(0,)时，f'(x)0.故f(x)在(,0)单调减，在(0,)单调增（II）f'(x)ex12ax由（I）知ex1x，当且仅当x0时等号成立.故f'(x)x2ax(12a)x，1从而当12a0，即a时，f'(x)0(x0)，而f(0)0，2于是当x0时，f(x)0.1由ex1x(x0)可得ex1x(x0).从而当a时，2f'(x)ex12a(ex1)ex(ex1)(ex2a)，故当x(0,ln2a)时，f'(x)0，而f(0)0，于是当x(0,ln2a)时，f(x)0.1综合得a的取值范围为,2原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：另解:（II）当x0时，f(x)0，对任意实数a,均在f(x)0；exx1当x0时，f(x)0等价于ax2exx1xex2exx2令gx(x>0),则g(x)，x2x3令hxxex2exx2x0，则hxxexex1，hxxex0，知hx在0,上为增函数，hxh00；知hx在0,上为增函数，hxh00；gx0，g(x)在0,上为增函数。exx1exex1由洛必达法则知，limlimlim，x22x22x0x0x01故a21综上，知a的取值范围为,。2