方法技巧专题(九)角的存在性问题1.[2018·乐山]如图F9-1,曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,P是曲线C2上任意一点,点A在直线l:y=x上,且PA=PO,则△POA的面积等于()图F9-1A.B.6C.3D.122.[2018·宿迁]如图F9-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=(x>0)的图象与正比例函数y=kx,y=x(k>1)的图象分别交于点A,B.若∠AOB=45°,则△AOB的面积是.图F9-23.如图F9-3,在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,0),B(0,2),点C在第一象限,∠ABC=135°,AC交y轴于点D,CD=3AD,反比例函数y=的图象经过点C,则k的值为.图F9-34.如图F9-4,点P是正方形ABCD内一点,点P到点A,B和D的距离分别为1,2,.△ADP沿点A旋转至△ABP',连结PP',并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证:△APP'是等腰直角三角形;(2)求∠BPQ的大小;(3)求CQ的长.图F9-45.如图F9-5,抛物线y=ax2+bx-4a经过A(-1,0),C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连结BD,点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.图F9-56.如图F9-6,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B的坐标;(2)连结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x轴正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求点P的坐标.图F9-67.如图F9-7,抛物线y=-x2+bx+c与直线y=x+2交于C,D两点,其中点C在y轴上,点D的坐标为(3,).点P是y轴右侧的抛物线上一动点,过点P作PE⊥x轴于点E,交CD于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)若存在点P,使∠PCF=45°,求点P的坐标.图F9-78.[2018·莱芜]如图F9-8,抛物线y=ax2+bx+c经过A(-1,0),B(4,0),C(0,3)三点,D为直线BC上方抛物线上一动点,DE⊥BC于点E.(1)求抛物线的函数表达式.(2)如图①,求线段DE长度的最大值.(3)如图②,设AB的中点为F,连结CD,CF,是否存在点D,使得△CDE中有一个角与∠CFO相等?若存在,求点D的横坐标;若不存在,请说明理由.图F9-8参考答案1.B[解析]如图,将点P绕点O顺时针旋转45°,得到点P的对应点P',∵曲线C2是双曲线C1:y=(x>0)绕原点O逆时针旋转45°得到的图形,∴点P'在双曲线y=上,且OP=OP',过点P'作P'M⊥y轴于点M,过点P作PH⊥OA于点H.∴△OP'M的面积=|k|=3.∵PA=PO,∴OH=AH.又∵点A在直线l:y=x上,∴∠AOM=45°,而∠POP'=45°,不妨设∠MOP'=α,∴∠OP'M=90°-α,∠POA=45°+(45°-α)=90°-α,∴∠POA=∠OP'M.又∵∠PHO=∠P'MO=90°,OP=OP',∴△OPH≌△P'OM(AAS),∴△OPH的面积=△OP'M的面积=3.又∵OH=AH,∴△OPA的面积为6.故选B.2.2[解析]如图,过点O作OC⊥AB,垂足为C,过点A作AM⊥y轴,垂足为M,过点B作BN⊥x轴,垂足为N.设点A的横坐标为a,则点A的纵坐标为.∵点A在正比例函数y=kx的图象上,∴=ka,k=.∴OB所在直线的解析式为y=x.令x=,得x=,此时y=a.∴点B的坐标为(,a).∴OA=OB,∴∠AOC=∠BOC,△OAM≌△OBN.∵∠AOB=45°,∴∠AOC=∠AOM.∴△OAM≌△OAC.∴S△OAB=2S△OAM=2.3.94.解:(1)证明:∵△ABP'是由△ADP顺时针旋转90°得到的,∴AP=AP',∠PAP'=90°,∴△APP'是等腰直角三角形.(2)∵△APP'是等腰直角三角形,AP=1,∴∠APP'=45°,PP'=.又∵BP'=DP=,BP=2,∴PP'2+BP2=BP'2,∴∠BPP'=90°.∵∠APP'=45°,∴∠BPQ=180°-∠APP'-∠BPP'=45°.(3)过点B作BE⊥AQ