第十四章马尔可夫分析第一节引言★1907年由俄罗斯数学家马尔可夫（A.Markov）提出，并由蒙特-卡罗(Mote-Carlo)加以发展。★用于分析随机事件未来发展变化的趋势，即利用某一变量的现状和动向去预测该变量未来的状态及动向，以预测未来某特定时期可能发生的变化，以便采取相应的对策。★内容：马尔可夫过程、马尔可夫链1例1设某地居民的牛奶供应由A、B、C三厂负责，每月订一次，假定牛奶固定销售给1000户顾客，要订哪厂牛奶由顾客自己选择。因广告宣传、服务质量等原因，用户会改换厂家。假设有6月份三个厂销售情况的市场调查记录，具体统计资料如下表所示：六月份顾客的变化牛奶厂6月1日顾客数得失7月1日顾客数A2006040220B5004050490C30035452902六月份顾客的变化牛奶厂6月1日顾客数得失7月1日顾客数A2006040220B5004050490C3003545290表中p表示i失于j的概率，如B厂六月份失于A厂35户，而B有ij500户，因此，B厂6月份失于A的概率为pBA=35/500=0.07。同理，可得pCA=25/30=0.083,pAA=160/200=0.800AB=20/2000.100,BB=450/500=0.900pC=20/300=0.067,pAC=20/200=0.100B=15/5000.030,CC=255/300=0.8503牛奶厂ABC6月1日顾客数2005003007月1日顾客数2204902901603525Ap0.800p得失AA=BA=0.070pCA=0.083值及其概B2045020率pAB=0.100pBB=0.900pCB=0.0672015255CpAC=0.100pBC=0.030pCC=0.8504将上表的所得情况用概率矩阵的形式进行描述，则有ABCA?0.8000.1000.100?维?0?持B.0700.9000.030和获C?0.0830.0670.085?得维持和损失根据以上数据可做以下工作：①预测未来某时刻各销售者的市场占有率；②预测将来销售者的市场份额的得失比率；③预测市场是否会出现市场平衡状态（稳定市场份额）；④按对市场份额得失分析销售者的推销活动，指导厂家促销。5根据以上数据预测8月1日A、B、C三厂的市场占有率，则8月1日的状态为A厂的市场份额=0.22×0.80+0.49×0.07+0.29×0.083=0.234A厂保持率B厂转入率C厂转入率?0.8000.1000.100?[0.220.490??.29]0.0700.9000.030=[0.2340.4830.283]?0.0830.0670.085?其中，[0.220.490.29]向量为各厂7月份的市场占有份额（订户数与总订户数之比），则8月份A厂拥有全部顾客的23.4%，B厂为48.3%，C厂为28.3%。6第二节正规随机矩阵的基本知识★概率向量n任何一个向量[12LTu=uuun]，若u≥0,且∑u=1，ii=1则称u为概率向量。★概率矩阵在方阵P=[p]都为概率向量，ijn×n中，若各个行向量则称P为概率矩阵或随机矩阵。概率矩阵具有以下性质：7性质1：设u∈Rn为一个概率向量，A=[a]是一个概率矩阵，ijn×n则ATu=y也是一个概率向量。证?a1Ka1n?yT=uTA=[u1u2L??un]MOM?am1Lamn?nnn[∑ua1∑ua2L∑uan]iiiii=1=1=1则Ty各分量之和为nnnnn∑y∑ua∑u(∑a)=∑u=1iiijiijij=1j=1ii=1j=1i=1所以ATu为一个概率向量。8性质2：若A和B都为概率矩阵，则AB亦为概率矩阵，An亦为概率矩阵。证用A表示由矩阵A的第i行组成的向量，i?由性质1知，BTA都是概率向量，i?而?AT?1B?AB??=?M??AT??nB??故AB的每一行组成的向量均为概率向量，即A为概率矩阵，An亦为概率矩阵。9★正规概率矩阵对任一概率矩阵P，若存在m使得Pm,(m为大于1的正整数)的所有元素都是正数，则称P为正规概率矩阵。正规概?11?率矩阵?01???P=??,P2=2211?13??22??44??10??10??10?Q=??Q2=??，L，Qm11,31=??2m?11?22??44??2m2m?非正规概率矩阵10概率矩阵具有一下性质：若A是一个正规概率矩阵，则有①一定存在一个概率向量X，使得ATX=X成立，且X的各分量皆为正数；②A的各次方幂A1、A2、A3、L、AkL组成的序列会趋近于一个固定的方阵B，即Ak→B(当k→∞)，且B的每一行均为XT；③设为任一维概率向量，则向量序列ATu、A2Tu、A3Tu、L、AkT()()()uL趋近于概率向量X即有Ak