数学与统计学院解题大赛初赛试题考试时间：90分钟总分：95分+25分=120分选择题（每道小题只有一个正确选项，共8小题，每题3分）复平面内表示复数z=(m2-8m+15)+(m2-5m-14)i的点位于直线y=x上，则m=()A.-2B.7C.5D.2.比较，的大小()A.<B.>C.=D.无法确定3.已知函数的图像为C,为了得到函数，只要把C上所有的点()A.向右平行平移个单位长度B.向左平行平移个单位长度C.向右平行平移个单位长度D.向左平行平移个单位长度4.下面命题中真命题的个数是()(1)空集是任何集合的子集(2)若整数a是素数，则a是奇数(3)指数函数是增函数(4)若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行A.1个B.2个C.3个D.4个5.下列命题中正确的个数是()(1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α(2)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行(3)如果两条平行直线中的一条与另一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都没有公共点A.0B.1C.2D.36.已知1≤x+y≤3,-1≤x-y≤1,求4x+2y的取值范围()[0,12]B.[2,12]C.[0,10]D.[2,10]7.已知有曲线y=x2+2与直线y=3x,x=0,x=2，则它们所围成平面图形的面积为()A.0B.1C.D.8.若tan(α+β）=2tanα,求=()A.1B.2C.3D.无法确定填空题（共7小题，每题3分）1.写出函数与映射的关系2.指数函数y=2x的反函数为3.正四面体与正四棱柱的区别4.请写出直线点斜式方程、两点式方程以及一般式方程：5.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做6.cos75°=7.k(n)=k(n-2)+2n-1，k(1)=1,k(2)=2，k(n)的通项公式三．简答题（分为解答题和证明题两种，请写出必要的解题过程，共5小题，每题10分）1.设sinα是sinθ,cosθ的等差中项，sinβ是sinθ,cosθ的等比中项，求证：cos4β-4cos4α=3.2.用缩放法证明：（提示：当i>1时，）3.如图，设M为双曲线(a,b>0)上任意一点，O为原点，过点M做双曲线两渐近线的平行线，分别与渐近线交于A,B两点.探求平行四边形MAOB的面积，由此可以发现什么结论？4.要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123今需要A、B、C三种规格的成品分别15，18，27块，求各截这两种钢板各多少张可得所需A、B、C三种规格成品，且使所用钢板张数最少.已知函数(x)=ax2+(a-1)x-1,试讨论f(x)的单调性.附加题请写出你能想到的高中阶段所学过的定义定理（写出最少1个，最多5个，填空已涉及到的除外）例：平面向量基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，存在唯一一对有序实数(x，y)，使a=xe1＋ye2。