PAGE\*MERGEFORMAT4函数的奇偶性与周期性提高精讲奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数特点图象关于原点对称图象关于y轴对称1.函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数又是偶函数2.奇偶函数常用结论：(1)两个偶函数相加所得的和为偶函数.(2)两个奇函数相加所得的和为奇函数.(3)一个偶函数与一个奇函数相加所得的和为非奇函数与非偶函数.(4)两个偶函数相乘所得的积为偶函数.(5)两个奇函数相乘所得的积为偶函数.(6)一个偶函数与一个奇函数相乘所得的积为奇函数.3.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．4.周期函数常见结论：(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a.(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a.(3)若f(x+a)=(a>0),则函数的周期为2a.(4)若f(x＋a)＝－，则函数的周期为2a.5.对称函数如果函数满足，则函数的图象关于直线对称.练习：1.设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝________.2.若函数f(x)＝eq\f(x,x－2x＋a)为奇函数，则a＝()3.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－eq\f(1,3)Beq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)【难点一奇偶性与不等式】1.若函数f(x)＝eq\f(2x＋1,2x－a)是奇函数，则使f(x)>3成立的x的取值范围为()A．(－∞，－1)B．(－1,0)C(0,1)D．(1，＋∞)【难点二求解析式】1.若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝()A．ex－e－xB.eq\f(1,2)(ex＋e－x)C.eq\f(1,2)(e－x－ex)Deq\f(1,2)(ex－e－x)2.若函数f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))为偶函数，则a＝________.3.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)>x的解集用区间表示为________．4.设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝()A．{x|x<－2或x>4}B{x|x<0或x>4}C．{x|x<0或x>6}D．{x|x<－2或x>2}【难点三奇偶性与周期性综合】1.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，则f(2014)等于()A0B．3C．4D．62.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[0,1)上单调递增，记a＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为()Aa>b＝cB．b>a＝cC．b>c>aD．a>c>b3.设f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，若f(2)>1，f(2014)＝eq\f(2a－3,a＋1)，则实数a的取值范围是________．【难点四奇偶性、对称性、周期性】1.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1，则f(2013)＋f(2014)的值为()A．－2B．－1C．0D12.定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x－2)＝f(x＋2)，且x∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋eq\f(1,5)，则f(log220)＝()A－1B.eq\f(4,5)C．1D．－eq\f(4,5)【终极难度定义证明、赋值法、求参数】1.定义在R上的函数f(x)对任意a，b∈R都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)＋k(k为常数)．(1)判断k为何值时f(x)为奇函数，并证明；(2)设k＝－1，f(x)是R上的增函数，且f(4)＝5，若不等式f(mx2－2mx＋3)>3对任意x∈R恒成立，求实数m的取值范围．2.已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x＋y)＝f(x)＋f