李星野编，欢迎指正AFirstCourseinWaveletswithFourierAnalysisAlbertBoggessandFrancisJ.Narcowich小波与傅里叶分析基础Haar小波分析Fourier变换只能提供频率信息（信号的震荡），不能直接给出什么时候震荡发生这一信息。地震数据短时Fourier变换更适于做这件事。整个时间区间被划分为许多等长小时间区间；在这些小区间上逐个使用Fourier变换。分析结果同时包含了时间和频率信息。然而使用这种方法存在一个问题：时间小区间长度不可调；因此很难觉察到那种有很短持续期的高频脉冲串的出现时间。使用小波可以保持时间轨迹和频率信息。小波可以放大前面提到的短脉冲串，或者缩小觉察到的长期的慢振荡。在小波分析中，有两个函数发挥着基本作用，它们是尺度函数φ和小波函数ψ。这两个函数生成可以分解和重构信号的函数族。最简单的小波分析建立在Haar尺度函数基础上。Haar尺度函数考虑下图所示信号。可以将此信号视为某物理量的度量、比如作为时间函数的单回路电路电压。李星野编，欢迎指正电压表测量数据图中两个尖锐的脉冲可以表示电表中的不良连接形成的噪声，并且需要滤掉这种意外的噪声。下图显示了使用Haar结构单元（Haar尺度函数的平移）对这一信号的一种可能逼近。Haar结构单元对上述信号的一种逼近高频信号表现出高且细的单元特征。删除高细单元的算法将排除噪声且不影响信号。由Haar尺度函数生成的结构单元特别简单，并且能够说明隐含于多分辨率分析中的一般思想，多分辨率分析是后面要详加讨论的问题。Haar小波的弱点是其不连续性，因此其无法很好地逼近连续信号。在后面的章节中将引入其它小波，例如Daubechies小波就是连续函数，它同时又具有Haar小波对局部特征的刻画能力。定义Haar尺度函数为⎧10≤x<1φ(x)=⎨。⎩0其它前面已经给出了Haar尺度函数的图形。函数φ(x−k)与φ(x)有相同的图形，只不过向右移动了k个单位（k是整数）。定义0级分段常数函数空间V0为所有形如0，0∑akφ(x−k)ak∈Rk∈Z的函数构成的空间，通常k在整数集Z的有限子集上取值。此时也称V0由函数集{φ(x−k)|k∈Z}生成，记为李星野编，欢迎指正00。V0={∑akφ(x−k)|ak∈R}k∈Z由于φ(x−k)在x=k和x=k+1处不连续，所以V0的另一种描述是：它由所有不连续点在整数处的分段常数函数组成。通常V0中元素有有限的或紧的支撑，也就是在有界集外为零。下图给出了空间V0中典型元素的图形。空间V0中典型元素注意：V0中的函数并非在所有整数点处都不连续（例如a1=a2时，前述和函数在x=2处就连续）。f(x)=2φ(x)+3φ(x−1)+3φ(x−2)−φ(x−3)为分析高频信号，需要尽可能细的单元。下图所示结构单元宽度仅为φ(x)的一半，它是φ(2x)的图形。φ(2x)函数φ(2x−k)=φ(2(x−k2))与φ(2x)有相同的图形，只不过向右移动了k2个单李星野编，欢迎指正位。定义1级分段常数函数空间V1为所有形如1，1∑akφ(2x−k)ak∈Rk∈Z的函数构成的空间，通常k在整数集Z的有限子集上取值。此时也称V1由函数集{φ(2x−k)|k∈Z}生成，记为11。V1={∑akφ(2x−k)|ak∈R}k∈Z从几何上看，V1中函数的不连续点在半整数处（0,±12,±1,±32,…）。f(x)=4φ(2x)+2φ(2x−1)+2φ(2x−2)−φ(2x−3)对于j为非负整数。定义j级分段常数函数空间Vj为所有形如jj，j∑akφ(2x−k)ak∈Rk∈Z的函数构成的空间，通常k在整数集Z的有限子集上取值。j此时也称Vj由函数集{φ(2x−k)|k∈Z}生成，记为jjj。Vj={∑akφ(2x−k)|ak∈R}k∈ZVj中函数的不连续点在下述集合中{…,−12j,0,12j,22j,32j,…}。容易看出V0⊂V1⊂V2⊂⊂Vj−1⊂Vj⊂Vj+1⊂。李星野编，欢迎指正这一约束关系是严格成立的。例如函数φ(2x)属于V1，但不属于V0（因为φ(2x)在x=12处不连续）。−jVj包含所有直到2级分辨率尺度的相关信息。随着j的增大，分辨率变得更细。jVj⊂Vj+1意味着不会因为分辨率变细而丢失信息。这种包含关系也是用φ(2x)定义Vj而不用φ(ax)（a为因子）的原因