--利用二次型理论求二次函数的极值时方方,数学计算机科学学院摘要：二次型是线性代数的重要内容之一，本文用二次型理论给出了多元二次函数极值的求法。首先，沿用得到一般多元函数存在极值的必要条件的思想给出并论证了多元二次函数存在极值的必要条件；其次，为了进一步判定极值的存在以及当极值存在时是极大值还是极小值，利用多元二次函数对应矩阵的正定性给出其充分条件；最后基于必要条件和充分条件总结了求极值的一般方法。这一方法最终体现在对多元二次函数本身的系数对应线性方程组的解和对应矩阵的正定性进行讨论，并且在极值存在时，给出了求极值的明确的表达式。关键词：二次型；矩阵；二次函数；极值。MakeUseofQuadraticFormtoSeekQuadraticFunctionExtremeShiFangfang，CollegeofMathematicsandComputerScienceAbstract:Quadraticisoneoftheimportantcontentsoflinearalgebratheory,thispaperpresentswithquadraticmultiplequadraticfunctionofextrememethod.First,continuetogetgeneralmultivariatefunctionofthenecessaryconditionsfortheexistenceoftheideologicalextremearedemonstratedandamultiplequadraticfunctionofthenecessaryconditionsfortheextreme.Secondly,inordertodeterminetheexistenceofextremevalueandwhenthereisgreatvaluewhenextremeorminimum,usingmultiplequadraticfunctionofthecorrespondingmatrixisgivenitsqualitativesufficientconditions.Finallybasedonthenecessaryandsufficientconditionsfortheextremesummarizesthegeneralmethod.Thismethodisembodiedinthefinalofthecoefficientofamultiplequadraticfunctionitselfoflinearequationscorrespondingsolutionandthecorrespondingmatrixarediscussed,andthequalitativeextreme,giventheexplicitexpressionoftheextreme.Keywords:Quadraticform;Matrix;Quadraticfunction;Extreme1引言求多元函数的极值是实际中常常遇到的重要问题。求一般多元函数的极值，可以应用二次型的理论。我们已经知道:（1）多元函数存在极值的必要条件：若点QUOTEQUOTE是函数的极值点，并且偏导数存在，则函数在该点的梯度必然为零，即.（文[9]）（2）多元函数极值存在的充分条件：设函数在点的某个邻域内具有直到二阶的连续偏导数，且在该点的梯度，则=1\*GB3①当黑塞矩阵为正定矩阵时，为的极小值，=2\*GB3②当黑塞矩阵为负定矩阵时，为的极大值，=3\*GB3③当黑塞矩阵为不定矩阵时，不是的极值。(文[9])由此可见当多元函数在驻点处的黑塞矩阵是半正定或半负定时，多元函数在驻点处可能取得极值，也可能不取得极值。也就是说，这种利用二次型理论的方法有失效的情况。而对特殊的多元函数，即多元二次函数，却不存在这个问题。以下给出多元二次函数存在极值的必要条件和充分条件，以及当极值存在时，求极值的一般方法。2预备知识为了讨论的方便,先列出文中所用的定义及所用命题:定义1设P是一数域，一个系数在数域P中的QUOTE的二次齐次多项式称为数域P上的一个元二次型，或者，在不致混淆时简称二次型。令QUOTE由于QUOTE，所以二次型=1\*GB2⑴可以写成当QUOTE为实数时，称为实二次型。定义2若二次型QUOTE经可逆线性变换变为只含平方项的形式QUOTE，则称之为二次型QUOTE的标准型。命题1：实二次型QUOTE都可以通过非退化线性替换QUOTE化为平方和:QUOTE，进一步可化为标