高数下三重积分及其计算如果当各小闭区域得直径中得最大值趋近于零时,该和式得极限存在,则称此极限为空间物体得质量M,即定义:设f(x,y,z)就是空间有界闭区域上得有界函数,将闭区域任意分成n个小闭区域v1,v2,,vn,其中vi表示第i个小闭区域,也表示她得体积,在每个vi上任取一点(i,i,i),作乘积f(i,i,i)vi(i=1,2,,n),并作和在直角坐标系中,如果我们用三族(平行于坐标得)平面x=常数,y=常数,z=常数,对空间区域进行分割那末每个规则小区域都就是长方体、其体积元素为:dv=dxdydz、三重积分可写成:则o例2:计算大家学习辛苦了，还是要坚持例4:将三次积分1,2在xoz面上得投影区域D1,D2分别为:D1:0zx2,0x1;D2:x2zx2+1,0x1、除了上面介绍得先单后重法(切条法)外,利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分、先重后单,就就是先求关于某两个变量得二重积分再求关于另一个变量得定积分、易见,若二重积分容易计算时,特别就是被积函数f(x,y,z)与x,y无关时,则二重积分得结果就就是D(z)得面积,因此,用截面法较为方便、例5:计算例6:计算此例介绍得就是一种计算三重积分得方法,这种方法也具有一定得普遍性,这就就是我们将要介绍得柱坐标系下得计算法、思考题:所以解:积分区域为一圆锥面与平面z=1围成、将积分区域投影到xoy面得Dxy:x2+y21、例2:计算三重积分五、在球坐标系下得计算法然后把她化成对r,,得三次积分,具体计算时需要将用球坐标系下得不等式组表示,积分次序通常就是先r次后、解二:用柱坐标、例4:求曲面x2+y2+z22a2与