南京大学2009年攻读硕士学位研究生入学考试试题（三小时）填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）=1\*GB1⒈limn→∞i=1nπsiniπ2nn(siniπ2n+cosiπ2n)=_________=2\*GB1⒉设函数y=f(x)一阶可导且满足fx+2f1x=3x，则f’(x)=________=3\*GB1⒊假设常数a>1，则limn→∞1a+2a2+⋯+nan=________=4\*GB1⒋设x=3t2+2t+3eysint-y+1=0，则dydxt=0=________=5\*GB1⒌设f，g具有二阶连续导数且z=yfxy+xg(yx)，则x∂2z∂x2+y∂2z∂y∂x=________=6\*GB1⒍-1212sinxx2+1+ln2(1-x)dx=________=7\*GB1⒎设D是由y=x，y2=x及y=2所围成的平面区域，则Dsinπ2xydxdy=________=8\*GB1⒏已知limx→00xtarctan(at)dtesin3x-1=1，则a=________计算题（本大题共6小题，每小题12分，共72分）=1\*GB1⒈计算不定积分I=csinx+dcosxasinx+bcosxdx，其中a2+b2≠0。=2\*GB1⒉设函数z=f(x,y)在点(1,1)处可微且f(1,1)=1，f’x(1,1)=2，f’y(1,1)=3，g(x)=f(x,f(x,x))，计算ddxg3(x)x=1。=3\*GB1⒊求微分方程ydx+(2x2y-x)dy=0的通解。=4\*GB1⒋设数量场u(x,y,z)=lnx2+y2+z2，计算div(grad,u)。=5\*GB1⒌求函数f(x)=x2在区间-π,π上的傅里叶级数并求n=1∞1n2的和。=6\*GB1⒍计算I=Lxdy-ydx2x2+y2，其中L是以点(1,0)为中心，半径为R(R>1)的圆周，取逆时针方向。证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）=1\*GB1⒈用“ε-δ”定义证明limx→-1x3+x2+x+1=0。=2\*GB1⒉设b>0,b1>0,bn+1=12(bn+bbn)，n=1,2,⋯=1\*GB2⑴证明limbn存在；=2\*GB2⑵求出limbn。